2015年考研数二第08题解析

题目

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$, 在正交变换 $X=PY$ 下的标准形为 $2y_1^2+y_2^2–y_3^2$. 其中 $P=(e_1,e_2,e_3)$. 若 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$, 则 $f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $X=QY$ 下的标准形为 $?$

$$A.2y_1^2–y_2^2+y_3^2$$

$$B.2y_1^2+y_2^2–y_3^2$$

$$C.2y_1^2–y_2^2–y_3^2$$

$$D.2y_1^2+y_2^2+y_3^2$$

解析

由题可知：

$e_1$ 对应的特征值为 ${\lambda }_1=2$;

$e_2$ 对应的特征值为 ${\lambda }_2=1$;

$e_3$ 对应的特征值为 ${\lambda }_3=-1$.

又由通过特征值求特征向量的公式 $({\lambda }_{i}E-A)X_i=0$ 可知，这个公式是一个齐次线性方程。对于齐次线性方程而言，$X_i$ 和 $-X_i$ 对应的都是同一个特征值 ${\lambda }_i$, 即特征向量加不加负号都对应同一个特征值，因为最终的结果都是得零。

于是，我们知道：

$-e_3$ 对应的特征值是 $-1$, 而不是 $-(-1)$.

因此，$Q=(e_1,–e_3,e_2)$ 对应的特征值依次是 $2,-1,1$.

于是，二次型 $f$ 在正交变换 $X=QY$ 下的标准形为：

$$2y_1^2–y_2^2+y_3^2.$$

综上可知，正确选项为 $A$.

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