2016年考研数二第02题解析

题目

编号:A2016202

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}2(x-1),x < 1,\\ \ln x, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是 $?$

$$
A. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x – 1), x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$

$$B. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x + 1) – 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$

$$C. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x + 1) + 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$

$$D. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x – 1) + 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$

解析

本题就是求导。

由于:

$$
[(x-1)^{2}]^{‘} = 2(x-1).
$$

$$
[x(\ln x – 1)]^{‘} =
$$

$$
(x \ln x -x)^{‘} =
$$

$$
\ln x + 1 -1 = \ln x.
$$

$$
[x(\ln x + 1)]^{‘} =
$$

$$
[x \ln x + x]^{‘} =
$$

$$
\ln x + 1 +1 =
$$

$$
\ln x + 2.
$$

所以,$B$, $C$ 一定错,$A$, $D$ 中有一个是正确的。

又因为【导函数的原函数】一定可导,而可导必连续。

又当 $x \rightarrow 1$ 时:

$$
(x-1)^{2} = 0.
$$

$$
x(\ln x – 1) + 1 = 0
$$

综上可知,正确答案为 $D$.

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