2016年考研数二第02题解析

题目

编号：A2016202

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}2(x-1),x<1,\\ \ln x,x⩾1,\end{array}$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是 $?$

$$A.F(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2,x<1,\\ x(\ln x–1),x⩾1,\end{array}$$

$$B.F(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2,x<1,\\ x(\ln x+1)–1,x⩾1,\end{array}$$

$$C.F(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2,x<1,\\ x(\ln x+1)+1,x⩾1,\end{array}$$

$$D.F(x)=\{\begin{array}{c}(x-1{)}^2,x<1,\\ x(\ln x–1)+1,x⩾1,\end{array}$$

解析

本题就是求导。

由于：

$$[(x-1{)}^2{]}^{‘}=2(x-1).$$

$$[x(\ln x–1){]}^{‘}=$$

$$(x\ln x-x{)}^{‘}=$$

$$\ln x+1-1=\ln x.$$

$$[x(\ln x+1){]}^{‘}=$$

$$[x\ln x+x{]}^{‘}=$$

$$\ln x+1+1=$$

$$\ln x+2.$$

所以，$B$, $C$ 一定错，$A$, $D$ 中有一个是正确的。

又因为【导函数的原函数】一定可导，而可导必连续。

又当 $x\to 1$ 时：

$$(x-1{)}^2=0.$$

$$x(\ln x–1)+1=0$$

综上可知，正确答案为 $D$.

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