什么是置换矩阵？

一、前言

置换矩阵这个概念在考研数学中并不常见，但却是 26 考研数学二真题中所考察过的一个知识点.

在这里，「荒原之梦考研数学」就帮助同学们深入理解一下什么是置换矩阵.

二、正文

§2.1 置换矩阵的示例

在开始讨论“枯燥”的置换矩阵的定义之前，我们首先来直观地看一些具体的置换矩阵——

以 $3 \times 3$ 阶的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 为例（从后面的讨论可以知道，置换矩阵一定是一个 $n \times n$ 阶的单位矩阵），一共存在 $3!$ $=$ $6$ 种置换矩阵，分别是：

我们用 $\sigma (1)$ $=$ $(2)$ 表示将矩阵的第一行与第二行对换（或者表示将矩阵的第一列与第二列对换），用 $\sigma (2)$ $=$ $(3)$ 表示将矩阵的第二行与第三行对换（或者表示将矩阵的第二列与第三列对换），如果写得简略一些就是 $\sigma (1,2)$ $=$ $(2,3)$, 或者更简略地写成 $\sigma$ $=$ $(2,3)$.

单位矩阵恒等置换

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (1,2,3) \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (1,2,3) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

对换单位矩阵的第一行和第二行

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (2,1,3) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (2,1,3) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

对换单位矩阵的第一行和第三行

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (3,2,1) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (3,2,1) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

对换单位矩阵的第二行和第三行

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (1,3,2) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (1,3,2) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

正向循环置换

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (2,3,1) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (2,3,1) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \text{第 } 1 \text{ 行} \to \text{第 } 2 \text{ 行} \to \text{第 } 3 \text{ 行} \to \text{第 } 1 \text{ 行} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

反向循环置换

$$
\begin{aligned}
& \ \sigma (1,2,3) = (3,1,2) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \sigma = (3,1,2) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \text{第 } 3 \text{ 行} \to \text{第 } 1 \text{ 行} \to \text{第 } 2 \text{ 行} \to \text{第 } 3 \text{ 行} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

§2.2 置换矩阵的定义

基于前面的置换矩阵的示例可知，从形式上来看，置换矩阵就是每行每列恰好有一个元素 $1$, 其余位置全为 $0$ 元素的方阵.

本质上来说，置换矩阵就是对单位矩阵的行或者列重新排列后得到的矩阵——置换 $\sigma$ 即可以全部由行对换组成，也可以全部由列对换组成，也可以是既包含行对换，又包含列对换.

当然，由于任何置换都可以分解为若干次行对换或者列对换的复合，于是，如果我们用 $E_{i_{s}, j_{s}}$ 表示对换单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行，并用 $s$ 表示不同的对换操作，则一个置换矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就可以被表示为：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}_{i_{1}, j_{1}} \cdot \boldsymbol{E}_{i_{2}, j_{2}} \cdots E_{i_{s}, j_{s}} \cdots \boldsymbol{E}_{i_{n}, j_{n}}
$$

置换矩阵的特点（或者说优点）就在于，生成置换矩阵的过程只是用了对换操作，没有经过倍乘，或者倍加等运算，使得置换矩阵的结构更加简单，作用也更加专一.