收敛级数的加法运算性质

一、前言

如果我们有两个收敛级数（绝对收敛或者条件收敛），那么，他们相加所得的级数会具有什么性质呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过分类讨论的方式给同学们讲解清楚这一问题.

二、正文

§2.1 收敛 + 收敛

§2.1.1 结论

§2.1.2 证明

设 $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}$，$T_{n} = \sum_{k=1}^{n} b_{k}$，$U_{n} = \sum_{k=1}^{n} (a_{k} + b_{k})$

由于 $\sum a_{n}$ 和 $\sum b_{n}$ 收敛，则存在极限：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = S \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} T_{n} = T
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
U_{n} = S_{n} + T_{n}
$$

所以，根据极限的运算法则，有：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} U_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (S_{n} + T_{n}) = S + T
$$

综上可知，级数 $\sum(a_{n} + b_{n})$ 收敛（极限存在）.

§2.2 绝对收敛 + 绝对收敛

§2.2.1 结论

§2.2.2 证明

首先，由三角不等式知：

$$
|a_{n} + b_{n}| \leqslant |a_{n}| + |b_{n}|
$$

于是：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \sum |a_{n} + b_{n}| \leqslant \sum |a_{n}| + \sum |b_{n}| } \tag{1}
$$

由于级数 $\sum |a_{n}|$ 和 $\sum |b_{n}|$ 都收敛，根据级数的比较判别法可知，级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 也收敛，因此，由《绝对收敛的定义》可知，级数 $\sum(a_{n} + b_{n})$ 绝对收敛.

§2.3 条件收敛 + 条件收敛

§2.3.1 结论

§2.3.2 证明

首先，我们有 §2.2.2 中的 $(1)$ 式：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \sum |a_{n} + b_{n}| \leqslant \sum |a_{n}| + \sum |b_{n}| } \tag{1}
$$

当级数 $\sum a_{n}$ 和 $\sum b_{n}$ 都条件收敛的时候，级数 $\sum |a_{n}|$ 和 $\sum |b_{n}|$ 都发散，则此时 $(1)$ 式不等号左侧的级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 发散或者收敛，都可能导致 $(1)$ 式成立——

• 当级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 发散的时候，$\sum(a_{n} + b_{n})$ 条件收敛；
• 当级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 收敛的时候，$\sum(a_{n} + b_{n})$ 绝对收敛；

综上可知，结论得证.

§2.4 条件收敛 + 绝对收敛

§2.4.1 结论

§2.4.2 证明

首先，我们有 §2.2.2 中的 $(1)$ 式：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \sum |a_{n} + b_{n}| \leqslant \sum |a_{n}| + \sum |b_{n}| } \tag{1}
$$

当级数 $\sum a_{n}$ 或 $\sum b_{n}$ 条件收敛的时候，级数 $\sum |a_{n}|$ 或 $\sum |b_{n}|$ 就发散，则此时 $(1)$ 式不等号左侧的级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 发散或者收敛，都可能导致 $(1)$ 式成立——

• 当级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 发散的时候，$\sum(a_{n} + b_{n})$ 条件收敛；
• 当级数 $\sum |a_{n} + b_{n}|$ 收敛的时候，$\sum(a_{n} + b_{n})$ 绝对收敛；

综上可知，结论得证.

---