在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分

一、前言

一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。

二、正文

§2.1 为什么一阶线性微分方程中的部分不定积分可以转为变限积分？

首先，对于形如 $y ^{\prime} + p(x) y = q(x)$ 这样的一阶线性微分方程，我们有如下求解公式：

$$
\textcolor{yellow}{
y(x) = \left[ \int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C_{1} \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{~d} x}
} \tag{1}
$$

其中，公式 $(1)$ 中的 $C_{1}$ 为实数.

但事实上，将微分方程 $y ^{\prime} + p(x) y = q(x)$ 求解公式中的部分不定积分写成变上限积分的形式，这个公式也是成立（也可以正确的求解或者说表示出函数 $y(x)$）：

$$
y(x) = \left[ \textcolor{lightgreen}{ \int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t } + C_{2} \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int p(t) \mathrm{~d} t} \tag{2}
$$

其中，公式 $(2)$ 中的 $C_{2}$ 为实数，积分下限 $\mathbb{z}$ 为合适的实数.

对于上面基于变上限积分变形的公式, 大家可能会有以下三个疑问：

问题一：为什么要使用变上限积分？
问题二：为什么上面的公式和原来的公式是等价的？
问题三：积分下限 $\mathbb{z}$ 取什么值的时候，才可以称之为“合适的实数”？

接下来，我们逐一解答.

这是因为，将不定积分写成变上限积分，则这个变上限积分和原来的不定积分一般只相差了一个常数。例如，下面的不定积分和对应的积分下限为 $2$ 的变上限积分，只相差了一个实数 $|C| + |F(2)|$, 于是，我们只需要给不定积分或者变上限积分加上一个合适的实数，就可以使得二者相等：

$$
\begin{aligned}
\int f(x) \mathrm{~d} x & = F(x) + C \\ \\
\int_{2}^{x} f(x) \mathrm{~d} x & = F(x) – F(2)
\end{aligned}
$$

但是，如果在公式 $(2)$ 中使用变下限积分，就会导致不定积分和变下限积分之间不仅相差一个实数，正负性也完全相反，从而不利于凑成相等的形式，例如：

$$
\begin{aligned}
f(x) \mathrm{~d} x & = \textcolor{orange}{ F(x) } + C \\ \\
\int_{x}^{2} f(x) \mathrm{~d} x & = F(2) \textcolor{orange}{ – F(x) }
\end{aligned}
$$

从上面的公式 $(2)$ 可以看到，公式中只有一处不定积分被写成了变上限积分的形式，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t }
$$

接着，由对问题一的解答可知，上面的变限积分 $\int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t$ 与原公式中的不定积分 $\int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x$ 只相差一个常数，如果我们假设这个常数是 $c_{2}$, 即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t = \int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + c_{2}
}
$$

则上面的公式 $(2)$ 可以做如下等价变换：

$$
\begin{aligned}
y(x) & = \left[ \textcolor{lightgreen}{ \int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t } + C_{2} \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int p(t) \mathrm{~d} t} \\ \\
& = \left[ \textcolor{lightgreen}{ \int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + c_{2} } + C_{2} \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int p(t) \mathrm{~d} t} \\ \\
& \leadsto \text{令 } c_{2} + C_{2} = C_{1} \\ \\
& = \textcolor{yellow}{\left[ \int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C_{1} \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{~d} x}}
\end{aligned}
$$

于是可知，公式 $(2)$ 和公式 $(1)$ 是等价的.

Next

不过，根据「荒原之梦」的《基于矢量乘法模型分析函数乘积平移的性质》这篇文章，或者《通过分类讨论分析函数乘积平移的性质》这篇文章可知，下面的 $(3)$ 式、$(4)$ 式和 $(5)$ 式一般情况下是不成立的，因为函数 $\textcolor{orangered}{ \mathrm{e}^{-\int_{\mathbb{f}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t} }$ 一般情况下不是一个周期函数，而一个函数和一个非周期函数相乘得到的函数，一般不具备平移不变的性质：

$$
\begin{align}
y(x) & = \left[ \int q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s} \mathrm{~d} t + C_{3} \right] \cdot \textcolor{orangered}{ \mathrm{e}^{-\int_{\mathbb{f}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t} } \tag{3} \\ \notag \\
y(x) & = \left[ \textcolor{orangered}{ \int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int p(s) \mathrm{~d} s } \mathrm{~d} t } + C_{2} \right] \cdot \textcolor{orangered}{ \mathrm{e}^{-\int_{\mathbb{f}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t} } \tag{4} \\ \notag \\
y(x) & = \left[ \textcolor{orangered}{ \int_{\mathbb{z}}^{x} q(t) \mathrm{e}^{\int_{\mathbb{k}}^{x} p(s) \mathrm{~d} s } \mathrm{~d} t } + C_{2} \right] \cdot \textcolor{orangered}{ \mathrm{e}^{-\int_{\mathbb{f}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t} } \tag{4}
\end{align}
$$

理论上说，无论 $\mathbb{z}$ 取什么值，上面的公式 $(2)$ 都是成立的.

但是，$\mathbb{z}$ 的取值不同，会影响我们能否充分利用已知条件求解未知量.

因此，$\mathbb{z}$ 取什么值能够让我们确定未知常数的值，那么，这个 $\mathbb{z}$ 的取值就是合适的，关于这部分内容，在下面的例题中会有详细的分析。

§2.2 例题

题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，求解微分方程 $y ^{\prime} + ay = f(x)$ 满足初值 $y(0) = 0$ 的解 $y(x)$，其中 $a$ 为正的常数.

解析

本题是一个带有初值的一阶线性微分方程求解问题，我们先尝试使用不定积分形式的一阶线性微分方程求解公式求解本题——

本题要求解的微分方程 $y ^{\prime} + ay = f(x)$ 对应的求解公式为：

$$
y = \left[ \int f(x) \mathrm{e}^{\int a \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int a \mathrm{~d} x}
$$

于是，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y(x) = \left[ \int f(x) \mathrm{e}^{ax} \mathrm{~d} x + C \right] \cdot \mathrm{e}^{-ax}
} \tag{5}
$$

观察上面的式子 $(5)$ 可知，将初值 $y(0) = 0$ 代入之后，只能确定 $\mathrm{e}^{ax} = \mathrm{e}^{0} = 1$, 从而得到下面的式子 $(6)$:

$$
\textcolor{lightgreen}{
y(0) = \left[ \int f(x) \mathrm{~d} x + C \right] = 0
} \tag{6}
$$

从上面的 $(6)$ 式中，我们只能确定 $C = – \int f(x) \mathrm{~d} x$, 但由于不知道 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的数值，所以，无法确定 $C$ 的具体取值.

但是，在面对初值问题的时候，$\int f(x) \mathrm{~d} x$ 并非一点用处没有，因为 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 可以写成 $\int_{0}^{x} f(x) \mathrm{~d} t$ 的形式.

于是，微分方程 $y ^{\prime} + ay = f(x)$ 对应的求解公式可以写成：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y(x) = \left[ \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{e}^{ax} \mathrm{~d} t + C \right] \cdot \mathrm{e}^{-ax}
} \tag{7}
$$

因此，将 $y(0) = 0$ 代入上面的 $(7)$ 式，可得：

$$
\begin{align}
& y(0) = \left[ \int_{0}^{0} f(x) \mathrm{~d} x + C \right] = 0 \notag \\ \notag \\
\leadsto & \ 0 + C = 0 \notag \\ \notag \\
\leadsto & \ \textcolor{lightgreen}{ C = 0 } \tag{8}
\end{align}
$$

Tip

$\textcolor{green}{\blacktriangleright}$ 之所以在上面的 $(7)$ 式中使用底数为 $0$ 的变上限积分，是因为只有这个变上限积分才能让我们在将 $y(0) = 0$ 代入之后，确定常数 $C$ 的取值；
$\textcolor{green}{\blacktriangleright}$ 如果在 $y(0) = 0$ 这个已知条件下，我们选择使用的变上限积分的底数为 $1$, 那么，将 $y(0) = 0$ 代入之后，只能得到 $y(0) = \left[ \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + C \right] = 0$, 但由于我们不知道 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x$ 的取值，所以，此时无法确定常数 $C$ 的取值；
$\textcolor{green}{\blacktriangleright}$ 不过，如果已知条件是 $y(1) = -2$, 那么我们就需要使用底数为 $1$ 的变上限积分，此时有 $y(1) = \left[ \int_{1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x + C \right] = -2$，由于 $\int_{1}^{1} f(x) \mathrm{~d} x = 0$, 所以可知 $C = -2$.

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于是，结合上面的 $(7)$ 式和 $(8)$ 式可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y(x) = \mathrm{e}^{-ax} \cdot \int_{0}^{x} f(t) \cdot \mathrm{e}^{at} \mathrm{~d} t
}
}
$$

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