矩估计原理的“峰式”图形化解释

一、前言

关于概率统计学科中的“矩估计”为什么能用于估计某种分布的未知参数，我们可以通过传统的数学语言，给出非常严格的说明，详细内容可以阅读「荒原之梦考研数学」的《矩估计详解》这篇文章。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过创造性的“峰式”图形化解释，将矩估计背后所依据的抽象原理具象化，为同学们理解和应用矩估计提供一种全新的视角。

二、正文

矩估计与“房子”

如图 01 所示，我们可以将一个概率系统看作一座房子，而房子的墙体、地基和屋顶就对应描述这个概率系统的一些参数：

如果去掉房顶和一些墙面上的“砖块”，可以看到这个房子的内部：

概率系统中某些参数是未知的，就相当于房子中有些墙体相对于其他墙体的位置是未知的（例如本文接下来的示意图中黄色和蓝色的墙体），那么，我们就需要对这些墙体的相对位置做一个“估计”。

我们还知道，矩估计是点估计的一种，也就是说，矩估计所估计出来值不是一个区间，而是一个数值。所以，在下面的图形化解释中，我们将使用物理意义上的“质点”和来具象化矩估计的“点”特性。

也就是说，如果我们要使用矩估计的思想估计房子中墙体的相对位置，那么，就可以在房子内某个空间位置上找一个“点”，从这个点上向着待估计位置的墙体以垂直的入射角发射一枚“质点小球”，那么，我们就可以根据这个小球从发射到撞击墙面（假设撞击墙面并不损失小球的动能）后返回发射点的时间以及速度信息，推算出待估计墙体的相对位置。

如图 04 所示，如果图中的 $\mathbf{A}$ 点是这座房子坐标的“原点”，待估计相对位置的墙体为图中的黄色墙体。那么，我们就可以将从 $\mathbf{A}$ 点发射小球，再经墙面完成依次反弹后重新回到 $\mathbf{A}$ 点的过程称之为相对于黄色墙体的“一阶原点矩”。

当然，如果我们想减少误差，就可以让发射的小球在发射点 $\mathbf{A}$ 和待估计的墙体之间多反射几次——如果反射两次，那么就对应矩估计中的“二阶原点矩”。

当然，如果我们不是在房子的“原点” $\mathbf{A}$ 处发射小球，而是通过其它几面已知位置的墙体找到一个中间点（假设为图 05 中的点 $\mathbf{B}$），那么，从此处发射出去的小球，经过待估计位置的墙体产生一次反射的过程，就可以称之为“一阶中心矩”，而经过待估计的墙体产生两次反射的过程，就可以称之为“二阶中心矩”。

当然，如果待估计相对位置的墙体有如图 06 和图 07 所示的两面墙体（黄色和蓝色墙体），那么，我们就需要向不同的墙体发射不同的小球，从而分别获取这些墙体反馈回来的信息。

例如，若图 06 中的 $\mathbf{C}$ 点是这座房子坐标的原点，那么，图中就是分别获取黄色墙体和蓝色墙体的原点矩，同时根据所取小球反射次数的不同，具体可为一阶原点矩，或者二阶原点矩、$n$ 阶原点矩：

若图 07 中的 $\mathbf{D}$ 点是这座房子中心点，那么，图中就是分别获取黄色墙体和蓝色墙体的中心矩，同时根据所取小球反射次数的不同，具体可为一阶中心矩，或者二阶中心矩、$n$ 阶中心矩：

矩估计的准确程度取决于什么？

其实，从前面的示意图就可以看出来，矩估计准不准，主要取决于被估计相对位置的墙体的“状态”：

• 如果房子的所有墙体都很平整，并且相互之间都是水平或者垂直的关系，那么，通过上面的方法，我们就可以很准确地确定小球发射点 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{D}$ 的位置，并且，也可以根据小球的速度以及待估计墙体反射回来后重新回到发射点的时间估算出目标墙体的位置
• 如果房子已知位置的墙体不平整，那么，对于发射点 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{D}$ 的计算可能就是不准确的（即很难找到房子中唯一和公认的原点和中心点等），同时，如果待估计的墙体本身也不平整或者与其他墙体之间没有严格的平行或者垂直的关系，那么，单纯凭借墙体上一个点的反射，也很难完全确定待估计墙体的整体情况。

对应于概率系统：

• 墙面平整指的是：概率系统中的随机事件之间比较平滑，没有占比较大的特例事件；
• 墙面之间有严格的平行或者垂直关系指的是：概率系统中的待估计参数和已知参数之间的关联性和整体一致性较强。

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