一般的一维正态分布到标准正态分布的转换公式与例题详解

一、前言 前言 - 荒原之梦

标准正态分布具有很多独特的性质,因此,一般的普通正态分布到标准正态分布的转换,也是概率统计这门学科经常考察的一个知识点。

在本文中,我们只考虑一维情况下的一般正态分布(普通正态分布)到标准正态分布的转换公式以及例题。

二、正文 正文 - 荒原之梦

基础知识

一般的正态分布 N(μ,σ2) 的概率密度函数为:

f(x)=12πσ2e(xμ)22σ2

标准的正态分布 N(0,1) 的概率密度函数为:

f(x)=12πex22

公式

假设 Xi 是来自一般的一维正态分布 N(μ,σ2) 的随机变量,Yi 是来自标准正态分布 N(0,1) 的随机变量。

则,将 Xi 对应的一般的一维正态分布转换为 Yi 对应的标准正态分布的公式为:

Yi=Xiμσ

例题一

难度评级:

已知,μ 表示数学期望(均值),σ2 表示方差,且 X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3 服从一般正态分布。

则随机变量 Xi 的数学期望和方差的取值为:

μ=1+2+33=2σ2=(21)2+(22)2+(23)23=23

接着,通过下面的公式对上面的随机变量 Xi 进行转化:

Yi=Xiμσ

得:

X1=1(12)×32=32=Y1X2=1(22)×32=0=Y2X3=3(32)×32=32=Y3

则随机变量 Yi 的数学期望和方差的取值为:

μ=32+0+323=0σ2=(320)2+(00)2+(320)23=1

由于 μ=0, σ=1, 于是转化得到的新的随机变量就服从标准正态分布,即:

XiN(2, 23)Yi=XiμσYiN(0, 1)

例题二

难度评级:

一般正态分布(或者说“普通正态分布”)到标准正态分布的转换公式也可以用在一些比较抽象的分布上。

例如,若样本 Xi 服从一般正态分布 N(0, 32), 则根据正态分布样本的加减运算性质,即:

X1N(μ1,σ12)X2N(μ2,σ22)}X1±X2μ(μ1±μ2, σ1+σ2)

X1 + X2 + +X9 就服从下面的分布:

X1+X2++X9N(0, 32×9)N(0, 92)

因此,根据前面的一般正态分布到标准正态分布的转换公式,如果要将 X1 + X2 + +X9 N(0, 92) 转换到标准正态分布,则:

X109+X209++X909= X1+X2++X99N(0,1)

也就是说,当 X1 + X2 + +X9 符合一般正态分布 N(0,92) 的时候,可以通过转换公式计算出,X1+X2++X99 符合标准正态分布 N(0,1).


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