一般的一维正态分布到标准正态分布的转换公式与例题详解

一、前言

标准正态分布具有很多独特的性质，因此，一般的普通正态分布到标准正态分布的转换，也是概率统计这门学科经常考察的一个知识点。

在本文中，我们只考虑一维情况下的一般正态分布（普通正态分布）到标准正态分布的转换公式以及例题。

二、正文

基础知识

一般的正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\mathrm{e}}^{\frac{-(x–\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

标准的正态分布 $N(0,1)$ 的概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{-x^2}{2}}$$

Tip

有关正态分布、高斯函数与高斯积分之间的关系，可以查阅「荒原之梦考研数学」的这篇文章。

zhaokaifeng.com

公式

假设 $X_i$ 是来自一般的一维正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的随机变量，$Y_i$ 是来自标准正态分布 $N(0,1)$ 的随机变量。

则，将 $X_i$ 对应的一般的一维正态分布转换为 $Y_i$ 对应的标准正态分布的公式为：

$$Y_i=\frac{X_i–\mu }{\sigma }$$

例题一

难度评级：

已知，$\mu$ 表示数学期望（均值），${\sigma }^2$ 表示方差，且 $X_1$ $=$ $1$, $X_2$ $=$ $2$, $X_3$ $=$ $3$ 服从一般正态分布。

则随机变量 $X_i$ 的数学期望和方差的取值为：

$$\begin{array}{rl}\mu & =\frac{1+2+3}{\text{3}}=2\\ \\ {\sigma }^2& =\frac{(2–1{)}^2+(2–2{)}^2+(2–3{)}^2}{\text{3}}=\frac{2}{3}\end{array}$$

接着，通过下面的公式对上面的随机变量 $X_i$ 进行转化：

$$Y_i=\frac{X_i–\mu }{\sigma }$$

Note

注意：上面式子分母上是 $\sigma$, 而不是 ${\sigma }^2$.

zhaokaifeng.com

得：

$$\begin{array}{rl}{X}_1& =1\Rightarrow (1–2)\times \sqrt{\frac{3}{2}}=-\sqrt{\frac{3}{2}}=Y_1\\ \\ X_2& =1\Rightarrow (2–2)\times \sqrt{\frac{3}{2}}=0=Y_2\\ \\ X_3& =3\Rightarrow (3–2)\times \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=Y_3\\ \end{array}$$

则随机变量 $Y_i$ 的数学期望和方差的取值为：

$$\begin{array}{rl}\mu & =\frac{-\sqrt{\frac{3}{2}}+0+\sqrt{\frac{3}{2}}}{\text{3}}=0\\ \\ {\sigma }^2& =\frac{{\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}–0\right)}^2+{\left(0–0\right)}^2+{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}–0\right)}^2}{\text{3}}=1\end{array}$$

由于 $\mu =0$, $\sigma =1$, 于是转化得到的新的随机变量就服从标准正态分布，即：

$$X_i\sim N(2,\frac{2}{3})\Rightarrow Y_i=\frac{X_i–\mu }{\sigma }\Rightarrow Y_i\sim N(0,1)$$

例题二

难度评级：

一般正态分布（或者说“普通正态分布”）到标准正态分布的转换公式也可以用在一些比较抽象的分布上。

例如，若样本 $X_i$ 服从一般正态分布 $N\sim (0,3^2)$, 则根据正态分布样本的加减运算性质，即：

$$\begin{array}{l}{X}_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\\ X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)\end{array}\}\Rightarrow X_1\pm X_2\sim \mu ({\mu }_1\pm {\mu }_2,{\sigma }_1+{\sigma }_2)$$

则 $X_1$ $+$ $X_2$ $+$ $\cdots$ $+X_9$ 就服从下面的分布：

$$\begin{array}{rl}{X}_1+X_2+\cdots +X_9& \sim N(0,3^2\times 9)\\ & \sim N(0,9^2)\end{array}$$

因此，根据前面的一般正态分布到标准正态分布的转换公式，如果要将 $X_1$ $+$ $X_2$ $+$ $\cdots$ $+X_9$ $\sim$ $N(0,9^2)$ 转换到标准正态分布，则：

$$\begin{array}{rl}& \frac{X_1–0}{9}+\frac{X_2–0}{9}+\cdots +\frac{X_9–0}{9}\\ \\ =& \frac{X_1+X_2+\cdots +X_9}{9}\sim N(0,1)\end{array}$$

也就是说，当 $X_1$ $+$ $X_2$ $+$ $\cdots$ $+X_9$ 符合一般正态分布 $N(0,9^2)$ 的时候，可以通过转换公式计算出，$\frac{X_1+X_2+\cdots +X_9}{9}$ 符合标准正态分布 $N(0,1)$.

---