一般的一维正态分布到标准正态分布的转换公式与例题详解

一、前言

标准正态分布具有很多独特的性质，因此，一般的普通正态分布到标准正态分布的转换，也是概率统计这门学科经常考察的一个知识点。

在本文中，我们只考虑一维情况下的一般正态分布（普通正态分布）到标准正态分布的转换公式以及例题。

二、正文

基础知识

一般的正态分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ 的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \mathrm{e}^{\frac{- (x – \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}
$$

标准的正态分布 $N(0, 1)$ 的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{\frac{-x^{2}}{2}}
$$

Tip

有关正态分布、高斯函数与高斯积分之间的关系，可以查阅「荒原之梦考研数学」的这篇文章。

zhaokaifeng.com

公式

假设 $\textcolor{orange}{X_{i}}$ 是来自一般的一维正态分布 $N(\textcolor{magenta}{ \mu }, \textcolor{magenta}{ \sigma^{2} })$ 的随机变量，$\textcolor{springgreen}{Y_{i}}$ 是来自标准正态分布 $N(0, 1)$ 的随机变量。

则，将 $X_{i}$ 对应的一般的一维正态分布转换为 $Y_{i}$ 对应的标准正态分布的公式为：

$$
\textcolor{springgreen}{Y_{i}} = \frac{\textcolor{orange}{X_{i}} – \textcolor{magenta}{\mu}}{\textcolor{magenta}{\sigma}}
$$

例题一

难度评级：

已知，$\mu$ 表示数学期望（均值），$
\sigma ^{2}$ 表示方差，且 $X_{1}$ $=$ $1$, $X_{2}$ $=$ $2$, $X_{3}$ $=$ $3$ 服从一般正态分布。

则随机变量 $X_{i}$ 的数学期望和方差的取值为：

$$
\begin{aligned}
\mu & = \frac{\textcolor{magenta}{1} + \textcolor{magenta}{2} + \textcolor{magenta}{3} }{ \textcolor{white}{\colorbox{green}{3}} } = \textcolor{orange}{2} \\ \\
\textcolor{red}{\sigma^{2}} & = \frac{(\textcolor{orange}{2} – \textcolor{magenta}{1} )^{2} + (\textcolor{orange}{2} – \textcolor{magenta}{2} )^{2} + (\textcolor{orange}{2} – \textcolor{magenta}{3} )^{2}}{ \textcolor{white}{\colorbox{green}{3}} } = \textcolor{orangered}{ \frac{2}{3} }
\end{aligned}
$$

接着，通过下面的公式对上面的随机变量 $X_{i}$ 进行转化：

$$
Y_{i} = \frac{X_{i} – \mu}{\textcolor{springgreen}{\sigma} }
$$

Note

注意：上面式子分母上是 $\textcolor{springgreen}{\sigma}$, 而不是 $\textcolor{red}{\sigma^{2}}$.

zhaokaifeng.com

得：

$$
\begin{aligned}
X_{1} & = \textcolor{magenta}{1} \Rightarrow (\textcolor{magenta}{1} – \textcolor{orange}{2}) \times \textcolor{yellow}{ \sqrt{\frac{3}{2}} } = \textcolor{springgreen}{- \sqrt{\frac{3}{2}}} = Y_{1} \\ \\
X_{2} & = \textcolor{magenta}{1} \Rightarrow (\textcolor{magenta}{2} – \textcolor{orange}{2}) \times \textcolor{yellow}{ \sqrt{\frac{3}{2}} } = \textcolor{springgreen}{0} = Y_{2} \\ \\
X_{3} & = \textcolor{magenta}{3} \Rightarrow (\textcolor{magenta}{3} – \textcolor{orange}{2}) \times \textcolor{yellow}{ \sqrt{\frac{3}{2}} } = \textcolor{springgreen}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = Y_{3} \\ \\
\end{aligned}
$$

则随机变量 $Y_{i}$ 的数学期望和方差的取值为：

$$
\begin{aligned}
\mu & = \frac{\textcolor{springgreen}{- \sqrt{\frac{3}{2}}} + \textcolor{springgreen}{0} + \textcolor{springgreen}{\sqrt{\frac{3}{2}}}}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{3}}} = \textcolor{tan}{0} \\ \\
\sigma^{2} & = \frac{\left( \textcolor{springgreen}{- \sqrt{\frac{3}{2}}} – \textcolor{tan}{0} \right)^{2} + \left( \textcolor{springgreen}{0} – \textcolor{tan}{0} \right)^{2} + \left( \textcolor{springgreen}{\sqrt{\frac{3}{2}}} – \textcolor{tan}{0} \right)^{2}}{\textcolor{white}{\colorbox{green}{3}}} = \textcolor{pink}{1}
\end{aligned}
$$

由于 $\mu = 0$, $\sigma = 1$, 于是转化得到的新的随机变量就服从标准正态分布，即：

$$
X_{i} \sim N(2, \ \frac{2}{3}) \Rightarrow \textcolor{yellow}{Y_{i} = \frac{X_{i} – \mu}{\sigma}} \Rightarrow Y_{i} \sim N(0, \ 1)
$$

例题二

难度评级：

一般正态分布（或者说“普通正态分布”）到标准正态分布的转换公式也可以用在一些比较抽象的分布上。

例如，若样本 $X_{i}$ 服从一般正态分布 $N
\sim (0, \ 3^{2})$, 则根据正态分布样本的加减运算性质，即：

$$
\begin{rcases}
X_{1} \sim N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}) \\
X_{2} \sim N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})
\end{rcases}
\Rightarrow
X_{1} \pm X_{2} \sim \mu (\mu_{1} \pm \mu_{2}, \ \sigma_{1} + \sigma_{2})
$$

则 $X_{1}$ $+$ $X_{2}$ $+$ $\cdots$ $+X_{9}$ 就服从下面的分布：

$$
\begin{aligned}
X_{1} + X_{2} + \cdots +X_{9} & \sim N(0, \ 3^{2} \times 9) \\
& \sim N(0, \ 9^{2})
\end{aligned}
$$

因此，根据前面的一般正态分布到标准正态分布的转换公式，如果要将 $X_{1}$ $+$ $X_{2}$ $+$ $\cdots$ $+X_{9}$ $\sim$ $N(0, \ 9^{2})$ 转换到标准正态分布，则：

$$
\begin{aligned}
& \frac{X_{1} – 0}{9} + \frac{X_{2} – 0}{9} + \cdots + \frac{X_{9} – 0}{9} \\ \\
= \ & \frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{9}}{9} \sim N(0, 1)
\end{aligned}
$$

也就是说，当 $X_{1}$ $+$ $X_{2}$ $+$ $\cdots$ $+X_{9}$ 符合一般正态分布 $N(0, 9^{2})$ 的时候，可以通过转换公式计算出，$\frac{X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{9}}{9}$ 符合标准正态分布 $N(0, 1)$.

---