式子中极限为 $1$ 的部分可直接写成 $1$：因为 $1$ 事实上不会对式子产生任何影响

一、题目

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } \left( \frac { a^{\frac{1}{n} } + b^{ \frac{1}{n} } + c^{ \frac{1}{n}} }{3} \right)^{n}
$$

其中 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$

难度评级：

二、解析

若 $x > 0$, 则根据海涅定理可令：

$$
f(x) = \left( \frac{ a^{x} + b^{x} + c^{x} }{3} \right)^{ \frac{1}{x} }
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ n \rightarrow \infty } \left( \frac { a^{\frac{1}{n} } + b^{ \frac{1}{n} } + c^{ \frac{1}{n}} }{3} \right)^{n} \\ \\
\Leftrightarrow & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{ a^{x} + b^{x} + c^{x} }{3} \right)^{ \frac{1}{x} } \\ \\
\Leftrightarrow & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
& f(x) = \left( \frac{ a^{x} + b^{x} + c^{x} }{3} \right)^{ \frac{1}{x} } \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{orange}{ \ln } f(x) = \frac{ \textcolor{orange}{ \ln } \left( a^{x} + b^{x} + c^{x} \right) – \ln 3 }{x}
\end{aligned}
$$

由于当 $x \rightarrow 0^{+}$ 的时候，$\frac{ \textcolor{orange}{ \ln } \left( a^{x} + b^{x} + c^{x} \right) – \ln 3 }{x}$ $=$ $\frac{\ln 3 – \ln 3}{0}$ $\leftrightarrow$ $\frac{0}{0}$, 所以，对上面的式子进行洛必达运算，得：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+}} \ln f(x) \\ \\
= & \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c }{a^ {x} + b^{x} + c^{x} }
\end{aligned}
$$

由于：

$$
x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow \begin{cases}
\textcolor{orange}{ a^{x} } & = & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \\
\textcolor{orange}{ b^{x} } & = & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \\
\textcolor{orange}{ c^{x} } & = & \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}}
\end{cases}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+}} \ln f(x) \\ \\
= & \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{\textcolor{orange}{ a^{x} } \ln a + \textcolor{orange}{ b^{x} } \ln b + \textcolor{orange}{ c^{x} } \ln c }{\textcolor{orange}{ a^{x} } + \textcolor{orange}{ b^{x} } + \textcolor{orange}{ c^{x} } } \\ \\
= & \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \cdot \ln a + \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \cdot \ln b + \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} \cdot \ln c }{\textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} + \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} + \textcolor{black}{\colorbox{springgreen}{1}} } \\ \\
= & \frac{1}{3} ( \ln a + \ln b + \ln c ) \\ \\
= & \frac{1}{3} \ln (a b c) \\ \\
= & \ln \sqrt[3]{abc}
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } f(x) = \sqrt[3]{abc} \\ \\
\Leftrightarrow & \lim_{ n \rightarrow \infty } f \left( \frac{1}{n} \right) = \sqrt[3]{abc} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{
\lim_{ n \rightarrow \infty } \left( \frac { a^{\frac{1}{n} } + b^{ \frac{1}{n} } + c^{ \frac{1}{n}} }{3} \right)^{n} = \sqrt[3]{abc}
}}
\end{aligned}
$$

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