式子中极限为1的部分可直接写成1：因为1不会对式子产生影响

一、题目

$lim_{n \to \infty} {(\frac{a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}} + c^{\frac{1}{n}}}{3})}^{n}$

其中 $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$

难度评级：

二、解析

若 $x > 0$ , 则根据海涅定理可令：

$f (x) = {(\frac{a^{x} + b^{x} + c^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}}$

于是：

$\begin{aligned} lim_{n \to \infty} {(\frac{a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}} + c^{\frac{1}{n}}}{3})}^{n} \\ \Leftrightarrow & lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{a^{x} + b^{x} + c^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}} \\ \Leftrightarrow & lim_{x \to 0^{+}} f (x) \end{aligned}$

又因为：

$\begin{aligned} f (x) = {(\frac{a^{x} + b^{x} + c^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}} \\ \Leftrightarrow & \ln f (x) = \frac{\ln (a^{x} + b^{x} + c^{x}) - \ln 3}{x} \end{aligned}$

由于当 $x \to 0^{+}$ 的时候， $\frac{\ln (a^{x} + b^{x} + c^{x}) - \ln 3}{x}$ $=$ $\frac{\ln 3 - \ln 3}{0}$ $\leftrightarrow$ $\frac{0}{0}$ , 所以，对上面的式子进行洛必达运算，得：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} \ln f (x) \\ = & lim_{x \to 0^{+}} \frac{a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c}{a^{x} + b^{x} + c^{x}} \end{aligned}$

由于：

$x \to 0^{+} \Rightarrow {\begin{cases} a^{x} & = & 1 \\ b^{x} & = & 1 \\ c^{x} & = & 1 \end{cases}$

所以：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} \ln f (x) \\ = & lim_{x \to 0^{+}} \frac{a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c}{a^{x} + b^{x} + c^{x}} \\ = & lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \cdot \ln a + 1 \cdot \ln b + 1 \cdot \ln c}{1 + 1 + 1} \\ = & \frac{1}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) \\ = & \frac{1}{3} \ln (a b c) \\ = & \ln \sqrt[3]{a b c} \end{aligned}$

综上可知：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \sqrt[3]{a b c} \\ \Leftrightarrow & lim_{n \to \infty} f (\frac{1}{n}) = \sqrt[3]{a b c} \\ \Leftrightarrow & lim_{n \to \infty} {(\frac{a^{\frac{1}{n}} + b^{\frac{1}{n}} + c^{\frac{1}{n}}}{3})}^{n} = \sqrt[3]{a b c} \end{aligned}$