用改进的韦恩（Venn）图理解概率论中的“摩根律”

一、前言

根据概率论中的摩根律，我们知道，对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有：

$$
\begin{aligned}
\overline{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\
\overline{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B}
\end{aligned}
$$

有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法，在本文中，「荒原之梦考研数学」将对韦恩图（Venn）进行改进，从而更好的解释摩根律。

难度评级：

二、正文

背景

一般情况下，我们会使用韦恩（Venn）图来表示集合之间的一些关系。例如对于摩根律中的 $\overline{A \cup B}$ $=$ $\bar{A} \cap \bar{B}$ 这一定理，我们可以表示为：

但是，仅仅通过上面的示意图，我们仍然比较难理解为什么 $\overline{A \cup B}$ 会等于 $\bar{A} \cap \bar{B}$.

所以，为了让同学们更容易地理解摩根律，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）原创设计了一种新的示意图，这种示意图借鉴了线性代数中矩阵的思想，将原本的韦恩图划分为了多个大小相同的“块”，并通过不同的颜色和标识文字，来表明这些块之间的角色与关系，能够然让大家更形象的理解摩根律。

准备

我们用前面介绍的“分块”的思想建立两个有关事件 $A$（白色方块）和其对立事件 $\bar{A}$（橙色方块），以及事件 $B$（白色方块）和其对立事件 $\bar{B}$（绿色方块）的示意图：

§1. 表示 $\overline{A \cup B}$ $=$ $\bar{A} \cap \bar{B}$

首先，我们可以表示出集合 $A \cup B$（白色方块）与其对立事件 $\overline{A \cup B}$（绿色方块）：

之后，我们可以表示出事件 $\bar{A}$ 与事件 $\bar{B}$ 的交集如图 04 中红色文字 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}} + \bar{b_{i}}}$ 所示：

由于图 03 中的绿色方块和图 04 中用红色文字标识的方块完全一致，所以可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}
}
}
$$

§2. 表示 $\overline{A \cap B}$ $=$ $\bar{A} \cup \bar{B}$

类似的，我们可以表示出集合 $A \cap B$（白色方块）与其对立事件 $\overline{A \cap B}$（绿色方块）：

之后，我们可以表示出事件 $\bar{A}$ 与事件 $\bar{B}$ 的并集如图 06 中红色文字 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}}, \bar{b_{i}}}$ 或 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}}}$ 或 $\textcolor{orangered}{\bar{b_{i}}}$ 所示：

由于图 05 中的绿色方块和图 06 中用红色文字标识的方块完全一致，所以可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}
}
}
$$

三、总结

通过上面的方法，我们将原本只能“表意”的韦恩图进行了“分块量化”，而量化之后得到的示意图，能够更好的展示集合之间的运算以及运算的结果。所以，「荒原之梦考研数学」在本文中原创的改进版韦恩图不仅能很好的解释概率论中的摩根律，还可以用于解释概率论中的其他定理

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