一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
根据概率论中的摩根律,我们知道,对于事件 $A$ 和事件 $B$, 有:
$$
\begin{aligned}
\overline{A \cup B} & = \bar{A} \cap \bar{B} \\
\overline{A \cap B} & = \bar{A} \cup \bar{B}
\end{aligned}
$$
有关摩根律的推导和理解有很多种方式方法,在本文中,「荒原之梦考研数学」将对韦恩图(Venn)进行改进,从而更好的解释摩根律。
难度评级:
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
背景
一般情况下,我们会使用韦恩(Venn)图来表示集合之间的一些关系。例如对于摩根律中的 $\overline{A \cup B}$ $=$ $\bar{A} \cap \bar{B}$ 这一定理,我们可以表示为:
但是,仅仅通过上面的示意图,我们仍然比较难理解为什么 $\overline{A \cup B}$ 会等于 $\bar{A} \cap \bar{B}$.
所以,为了让同学们更容易地理解摩根律,荒原之梦考研数学网(zhaokaifeng.com)原创设计了一种新的示意图,这种示意图借鉴了线性代数中矩阵的思想,将原本的韦恩图划分为了多个大小相同的“块”,并通过不同的颜色和标识文字,来表明这些块之间的角色与关系,能够然让大家更形象的理解摩根律。
准备
我们用前面介绍的“分块”的思想建立两个有关事件 $A$(白色方块)和其对立事件 $\bar{A}$(橙色方块),以及事件 $B$(白色方块)和其对立事件 $\bar{B}$(绿色方块)的示意图:
§1. 表示 $\overline{A \cup B}$ $=$ $\bar{A} \cap \bar{B}$
首先,我们可以表示出集合 $A \cup B$(白色方块)与其对立事件 $\overline{A \cup B}$(绿色方块):
之后,我们可以表示出事件 $\bar{A}$ 与事件 $\bar{B}$ 的交集如图 04 中红色文字 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}} + \bar{b_{i}}}$ 所示:
由于图 03 中的绿色方块和图 04 中用红色文字标识的方块完全一致,所以可知:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}
}
}
$$
§2. 表示 $\overline{A \cap B}$ $=$ $\bar{A} \cup \bar{B}$
类似的,我们可以表示出集合 $A \cap B$(白色方块)与其对立事件 $\overline{A \cap B}$(绿色方块):
之后,我们可以表示出事件 $\bar{A}$ 与事件 $\bar{B}$ 的并集如图 06 中红色文字 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}}, \bar{b_{i}}}$ 或 $\textcolor{orangered}{\bar{a_{i}}}$ 或 $\textcolor{orangered}{\bar{b_{i}}}$ 所示:
由于图 05 中的绿色方块和图 06 中用红色文字标识的方块完全一致,所以可知:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}
}
}
$$
三、总结
通过上面的方法,我们将原本只能“表意”的韦恩图进行了“分块量化”,而量化之后得到的示意图,能够更好的展示集合之间的运算以及运算的结果。所以,「荒原之梦考研数学」在本文中原创的改进版韦恩图不仅能很好的解释概率论中的摩根律,还可以用于解释概率论中的其他定理
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。