tan(arccos x) 等于多少？

一、结论

首先给出结论：

$$\tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1–x^2}}{x}$$

接下来「荒原之梦考研数学 – zhaokaifeng.com」网将给出对上述结论的详细证明。

二、证明

本文的证明过程与《$\tan (\arcsin x)$ 等于多少？》这篇文章的证明思路基本一样。

由于：

$$\begin{array}{r}\tan (\arccos x)\\ \\ =& \frac{\sin (\arccos x)}{\cos (\arccos x)}\\ \\ =& \frac{\sin (\arccos x)}{x}\\ \\ =& \frac{\sqrt{1–{\cos }^2(\arccos x)}}{x}\\ \\ =& \frac{\sqrt{\mathbf{1}–{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}}{\mathit{x}}\end{array}$$

由《$\cos (\arcsin x)$ 和 $\sin (\arccos x)$ 等于多少？》这篇文章可知，$\cos (\arcsin x)$ $=$ $\sin (\arccos x)$ $=$ $\sqrt{1–x^2}$, 而且，由 $y$ $=$ $\sin (\arccos x)$ 的函数图像可知（如图 01 所示），$\sin (\arccos x)$ 是大于等于零的，因此，不存在 $\sin (\arccos x)$ $=$ $-\sqrt{1–x^2}$ 的可能性，也不存在 $\tan (\arccos x)$ $=$ $\frac{-\sqrt{1{–}^2}}{x}$ 这个式子，更不存在 $\tan (\arccos x)$ $=$ $\frac{\pm \sqrt{1{–}^2}}{x}$ 这个式子。

事实上，从函数图象来看，函数 $y$ $=$ $\tan (\arccos x)$ （橙 色 粗 线） 与 $y$ $=$ $\frac{\sqrt{1–x^2}}{x}$ （黑 色 虚 线） 的函数图象是完全相同（重合）的：

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