范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$D_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$

上面这个行列式的计算结果为：

$D_{n} = \prod_{1 ⩽ j < i ⩽ n} (x_{i} - x_{j})$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

二、正文

准备工作

对于什么样的行列式是范德蒙行列式不熟悉的同学可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章；
对范德蒙行列式的计算公式不熟悉的同学可以先查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

什么样的行列式可以尝试转换为范德蒙行列式？

当看到一个具体型行列式满足下面几个特征中的一个或者全部的时候，就要尝试将该行列式的全部或者部分转换为范德蒙行列式：

行列式的某行或者某列含有多个数字 $1$ , 或者可以通过初等变换产生多个相同的值或式子;

行列式的不同行或者不同列之间存在 $2$ 次幂或者 $3$ 次幂的关系。

Note

针对上面这些特征，可以通过荒原之梦考研数学的这道题目练习一下。
zhaokaifeng.com

§1.1 题目一

$| K_{1} |$ $=$ $| \begin{matrix} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{matrix} |$ $=$ $?$

其中， $a b c$ $\neq$ $0$ .

§1.2 解析一

$\begin{aligned} | K_{1} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array} | \\ \overset{第 1 行乘以 a}{=} \frac{1}{a} & | \begin{array}{c} a & a^{2} & a b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array} | \\ \overset{第 2 行乘以 b}{=} \frac{1}{a b} & | \begin{array}{c} a & a^{2} & a b c \\ b & b^{2} & a b c \\ 1 & c & a b \end{array} | \\ \overset{第 2 行乘以 c}{=} \frac{1}{a b c} & | \begin{array}{c} a & a^{2} & a b c \\ b & b^{2} & a b c \\ c & c^{2} & a b c \end{array} | \\ \overset{提取第 3 列的 a b c}{=} \frac{1}{a b c} \cdot a b c & | \begin{array}{c} a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1 \end{array} | \\ \overset{第 1 列和第 3 列交换}{=} (- 1) \cdot & | \begin{array}{c} 1 & a^{2} & a \\ 1 & b^{2} & b \\ 1 & c^{2} & c \end{array} | \\ \overset{第 2 列和第 3 列交换}{=} (- 1) \cdot (- 1) \cdot & | \begin{array}{c} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array} | \\ \overset{转置不会改变行列式的值}{=} & | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array} | \\ \overset{范德蒙行列式计算公式}{=} & (b - a) (c - a) (c - b) \end{aligned}$

§2.1 题目二

$| K_{2} |$ $=$ $| \begin{matrix} 1 & a & b c + a^{2} \\ 1 & b & a c + b^{2} \\ 1 & c & a b + c^{2} \end{matrix} |$ $=$ $?$

§2.2 解析二

首先，对行列式 $| K_{2} |$ 进行拆分：

$\begin{aligned} | K_{2} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & a & b c + a^{2} \\ 1 & b & a c + b^{2} \\ 1 & c & a b + c^{2} \end{array} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array} | + | \begin{array}{c} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array} | \end{aligned}$

又由“题目一”得结论可知：

$| \begin{matrix} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{matrix} | = (b - a) (c - a) (c - b)$

且根据范德蒙行列式得计算公式，以及转置运算不会改变行列式得值，可得：

$| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix} | = (b - a) (c - a) (c - b)$

综上：

$| K_{2} | = 2 \cdot (b - a) (c - a) (c - b)$

§3.1 题目三

$| K_{3} |$ $=$ $| \begin{matrix} b + c + d & a + c + d & a + b + d & a + b + c \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \end{matrix} |$ $=$ $?$

§3.2 解析三

由于第 $1$ 行加上第 $2$ 行可以产生 $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $+$ $d$ , 于是：

$\begin{aligned} | K_{3} | \\ = & | \begin{array}{c} b + c + d & a + c + d & a + b + d & a + b + c \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \end{array} | \\ = & | \begin{array}{c} a + b + c + d & a + b + c + d & a + b + c + d & a + b + c + d \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \end{array} | \\ = & (a + b + c + d) \cdot | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} & d^{3} \end{array} | \\ = & (a + b + c + d) \cdot (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c) \end{aligned}$

§4.1 题目四

$| K_{4} |$ $=$ $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 3 & - 4 & - 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ - 8 & - 27 & - 64 & - 125 \end{matrix} |$ $=$ $?$

§4.2 解析四

观察可知：

$\begin{aligned} {\begin{cases} (- 2)^{2} = 4 \\ (- 3)^{2} = 9 \end{cases} \\ {\begin{cases} (- 2)^{3} = - 8 \\ (- 3)^{3} = - 27 \end{cases} \end{aligned}$

于是：

$\begin{aligned} | K_{4} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 3 & - 4 & - 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ - 8 & - 27 & - 64 & - 125 \end{array} | \\ = & | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 3 & - 4 & - 5 \\ (- 2)^{2} & (- 3)^{2} & (- 4)^{2} & (- 5)^{2} \\ (- 2)^{3} & (- 3)^{3} & (- 4)^{3} & (- 5)^{3} \end{array} | \\ = & (- 3 + 2) (- 4 + 2) (- 5 + 2) (- 4 + 3) (- 5 + 3) (- 5 + 4) \\ = & (- 1) (- 2) (- 3) (- 1) (- 2) (- 1) \\ = & (- 2) (- 3) (- 2) (- 1) \\ = & 12 \end{aligned}$

范德蒙行列式“变体”行列式的计算

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