矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵

一、题目

已知， $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶方阵，且：

$B A = E$

则：

$B [E + A {(E + 2 B^{⊤} A^{⊤})}^{- 1} B] A = ?$

难度评级：

二、解析

首先，由 $B A$ $=$ $E$ 可得：

$B^{- 1} = A$

于是：

$A B = B^{- 1} B = E$

又因为：

$A^{⊤} B^{⊤} = (A B)^{⊤} = E^{⊤} = E$

所以：

$\begin{aligned} B [E + A {(E + 2 B^{⊤} A^{⊤})}^{- 1} B] A \\ \Rightarrow & B [E + A {(E + 2 B^{⊤} A^{⊤})}^{- 1} B] A \\ \Rightarrow & B [E + A {(E + 2 E)}^{- 1} B] A \\ \Rightarrow & B [E + A {(3 E)}^{- 1} B] A \\ \Rightarrow & B [E + A \frac{1}{3} E B] A \\ \Rightarrow & B [E + \frac{1}{3} A B] A \\ \Rightarrow & B E A + \frac{1}{3} (B A) (B A) \\ \Rightarrow & B A + \frac{1}{3} E E \\ \Rightarrow & E + \frac{1}{3} E \\ \Rightarrow & \frac{4}{3} E \end{aligned}$