2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断

一、题目

[A]. 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$

[B]. 当 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加

[C]. 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$

[D]. 当 $f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数

难度评级：

二、解析

[A] 选项

选项内容：当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$

对于 [A] 选项，我们可以通过一个特例排除：

我们知道，函数 $f(x)$ $=$ $x^3$ 是一个在整个定义域 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上都单调递增的函数，但是，在 $x=0$ 处，我们有：

$$f^{\prime }(0)=3x^2{|}_{x=0}=0$$

如图 01 所示，虽然看上去 $f(x)$ $=$ $x^3$ 的函数图象在 $x=0$ 附近有一段是“水平”的，但这仅仅是视觉上的效果而已，事实上，只要我们不断放大其在 $x=0$ 附近的函数图像（如图 01 所示），那么就会发现，$f(x)$ $=$ $x^3$ 在 $x=0$ 附近的水平部分会变得越来越短——事实上，$f(x)$ $=$ $x^3$ 这个函数的一个神奇之处就在于，它只在 $x=0$ 这一点处是“水平”的，也就是 $f^{\prime }(0)$ $=$ $0$:

综上，[A] 选 项 错 误 。

[B] 选项

选项内容：当 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加

由于函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 $2$ 阶导数，所以下式成立：

$$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)–f^{\prime }\left(x_0\right)}{x–x_0}\iff \frac{0}{0}$$

于是：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

因此，当 $f^{\prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$ 的时候，根据极限的局部保号性，可知，存在 $\delta >0$, 使得当 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$ 的时候，一定有：

$$f^{\prime }(x)>0$$

也就是说，此时 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某一邻域内单调增加。

综上，[B] 选 项 正 确 。

[A], [B] 选项总结

1. 由一阶导大于零能得到函数在限定区间内一定单调递增；
2. 由函数在限定区间内单调递增或递减，不一定能得到一阶导始终大于零或小于零的结论，因为即便函数在某一点处的一阶导等于零（该点处函数不增不减），也不影响该函数在整个区间内单调递增或者单调递减的性质。

[C] 选项

选项内容：当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$

这里的“某邻域”可能是点 $x=x_0$ 的左右邻域，也可能是左邻域，还可能是右邻域。于是，我们可以考虑下面一种情况：

假设，存在 $\delta >0$:

函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的左邻域 $(x_0–\delta ,\delta )$ 内是凹函数，此时 $f(x{)}^{\prime \prime }$ $>$ $0$;

函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的右邻域 $(\delta ，x_0+\delta )$ 内是凸函数，此时 $f(x{)}^{\prime \prime }$ $<$ $0$——

那么，点 $x=x_0$ 就成为了函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0–\delta ,x_0+\delta )$ 内的一个拐点，此时有：

$$f^{\prime \prime }(x_0)=0$$

也就是说，由函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域内是凹函数，能推出 $f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ $=$ $0$.

综上，[C] 选 项 错 误 。

[D] 选项

选项内容：当 $f^{\prime \prime }\left(x_0\right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数

只有函数的二阶导函数在指定区间内的二阶导函数值恒大于零，该函数在该区间内才是凹函数。

所以，只有 $x=x_0$ 这一点处的二阶导函数值 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 大于零，并不能说明函数在 $x=x_0$ 的某邻域内一定是凹函数。

综上，[D] 选 项 错 误 。

[C], [D] 选项总结

1. 对于涉及函数在一点处“某邻域”或“邻域”的说法，一定要想到这个“邻域”不一定是关于一点左右都有的，该点其中一侧的邻域也叫该点的“某邻域”；
2. 凹函数和凸函数都是函数在一个区间内才能展现出来的特征，因此，用一点处的特征去说明函数的凹凸性时就要引起注意。

综上可知，本 题 应 选 B