一、题目
设函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，则：
[A]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime} \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$
[B]. 当 $f^{\prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加
[C]. 当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$
[D]. 当 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数
难度评级：
二、解析 
[A] 选项
选项内容：当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime} \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$
对于 [A] 选项，我们可以通过一个特例排除：
我们知道，函数 $f(x)$ $=$ $x ^{3}$ 是一个在整个定义域 $(- \infty, + \infty)$ 上都单调递增的函数，但是，在 $x = 0$ 处，我们有：
$$
f ^{\prime} (0) = 3 x ^{2} \Big|_{x = 0} = 0
$$
如图 01 所示，虽然看上去 $f(x)$ $=$ $x ^{3}$ 的函数图象在 $x = 0$ 附近有一段是“水平”的，但这仅仅是视觉上的效果而已，事实上，只要我们不断放大其在 $x = 0$ 附近的函数图像（如图 01 所示），那么就会发现，$f(x)$ $=$ $x ^{3}$ 在 $x = 0$ 附近的水平部分会变得越来越短——事实上，$f(x)$ $=$ $x ^{3}$ 这个函数的一个神奇之处就在于，它只在 $x = 0$ 这一点处是“水平”的，也就是 $f ^{\prime} (0)$ $=$ $0$:
综上，[A] 选 项 错 误 。
[B] 选项
选项内容：当 $f^{\prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$ 时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加
由于函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，所以下式成立：
$$
f ^ { \prime \prime } \left( x _{ 0 } \right) = \lim _{ x \rightarrow x _{ 0 } } \frac { f ^ { \prime } ( x ) – f ^ { \prime } \left( x _{ 0 } \right) } { x – x _{ 0 } } \Leftrightarrow \frac{0}{0}
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f(x_{0})
$$
因此，当 $f ^ { \prime } \left( x _{ 0 } \right)$ $>$ $0$ 的时候，根据极限的局部保号性，可知，存在 $\delta > 0$, 使得当 $x \in \mathring{U} \left( x _{ 0 } , \delta \right)$ 的时候，一定有：
$$
f ^ { \prime } ( x ) > 0
$$
也就是说，此时 $f ( x )$ 在 $x = x_{0}$ 的某一邻域内单调增加。
综上，[B] 选 项 正 确 。
[A], [B] 选项总结
- 由一阶导大于零能得到函数在限定区间内一定单调递增；
- 由函数在限定区间内单调递增或递减，不一定能得到一阶导始终大于零或小于零的结论，因为即便函数在某一点处的一阶导等于零（该点处函数不增不减），也不影响该函数在整个区间内单调递增或者单调递减的性质。
[C] 选项
选项内容：当 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$
这里的“某邻域”可能是点 $x = x_{0}$ 的左右邻域，也可能是左邻域，还可能是右邻域。于是，我们可以考虑下面一种情况：
假设，存在 $\delta > 0$:
函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 的左邻域 $(x_{0} – \delta, \delta)$ 内是凹函数，此时 $f(x) ^{\prime \prime}$ $>$ $0$;
函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 的右邻域 $(\delta， x_{0} + \delta)$ 内是凸函数，此时 $f(x) ^{\prime \prime}$ $<$ $0$——
那么，点 $x = x_{0}$ 就成为了函数 $f(x)$ 在区间 $(x_{0} – \delta, x_{0} + \delta)$ 内的一个拐点，此时有：
$$
f ^{\prime \prime} (x_{0}) = 0
$$
也就是说，由函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的左邻域内是凹函数，能推出 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $=$ $0$.
综上，[C] 选 项 错 误 。
[D] 选项
选项内容：当 $f^{\prime \prime} \left( x_{0} \right)$ $>$ $0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数
只有函数的二阶导函数在指定区间内的二阶导函数值恒大于零，该函数在该区间内才是凹函数。
所以，只有 $x = x_{0}$ 这一点处的二阶导函数值 $f ^{\prime \prime} (x_{0})$ 大于零，并不能说明函数在 $x = x_{0}$ 的某邻域内一定是凹函数。
综上，[D] 选 项 错 误 。
[C], [D] 选项总结
- 对于涉及函数在一点处“某邻域”或“邻域”的说法，一定要想到这个“邻域”不一定是关于一点左右都有的，该点其中一侧的邻域也叫该点的“某邻域”；
- 凹函数和凸函数都是函数在一个区间内才能展现出来的特征，因此，用一点处的特征去说明函数的凹凸性时就要引起注意。
综上可知，本 题 应 选 B 