行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？

一、前言

我们知道，$n$ 阶行列式的定义公式如下，同时，下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m} \end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

那么，如何理解上面这个公式呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题，为同学们讲明白这个知识点。

二、正文

首先，”$\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}}$” 是一个求和符号，指的是将其后的 “$\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}$” 产生的每一项豆相加；

接着，”$\textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}}$” 表示 $-1$ 的次幂是 $j_{1}j_{2} \cdots j_{n}$ 这几个数的逆序数（有关逆序数的计算，可以参考荒原之梦考研数学的这篇文章），很明显，当逆序数 $\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 为偶数的时候，这部分就等于 $1$, 当逆序数 $\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 为奇数的时候，这部分就等于 $-1$.

最不易理解的是 “$\textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}$”——这里的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 指的是行列式的“第 $1$ 行”、“第 $2$ 行”，直到“第 $n$ 行”，对应的 “$j_{1}$, $j_{2}$, $\cdots$, $j_{n}$” 则指的是行列式的“第 $j_{1}$ 列”、“第 $j_{2}$ 列”，直到“第 $j_{n}$ 列”——

需要特别注意的是，这里的 “$j_{1}$, $j_{2}$, $\cdots$, $j_{n}$”, 指的不一定是行列式的“第 $1$ 列”、“第 $2$ 列”，直到“第 $n$ 列”，这是因为，行列式展开式中的每一项中包含的元素都要满足来自“不同行不同列”的要求。

也就是说，在确定行列式展开式中的某一项的时候，我们首先要做的是对行列式从上到下，从第 $1$ 行到第 $n$ 行开始“扫描”，在这个过程中，每行选取一个列上的元素，且整个选取过程中，不能出现列相同的元素。

Next

例题

求解行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } 3 x & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & x & 3 \\ 2x & x & 2 & 3 \\ 6 & 2 & 0 & – 2 x \end{array} \right|$ 的展开式中 $x ^ { 4 }$ 的系数。

解析

只要理解了前文的行列式定义式，我们就可以顺利完成本题的求解。

观察可知，题目所给的行列式中所含的带有 $x$ 的元素的次幂都是 $1$, 而且，根据前面所述的行列式的计算公式可知，我们在每行只能选取一个元素，因此，从该行列式的第 $1$ 行到第 $4$ 行，我们在每一行都必须选择一个含有 $x$ 的元素，相乘才能得到 $x$ 的四次方。

于是：

第 $1$ 行选第 $1$ 列的元素：$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3x}}$;
第 $2$ 行选第 $3$ 列的元素：$\textcolor{pink}{\boldsymbol{x}}$;
第 $3$ 行选第 $2$ 列的元素：$\textcolor{orangered}{\boldsymbol{x}}$;
第 $4$ 行选第 $4$ 列的元素：$\textcolor{yellow}{\boldsymbol{-2x}}$.

于是，我们在行列式中选取的元素就是：

$$
\left| \begin{array} { c c c c } \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3 x}} & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & \textcolor{pink}{\boldsymbol{x}} & 3 \\ 2x & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{x}} & 2 & 3 \\ 6 & 2 & 0 & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{- 2 x}} \end{array} \right|
$$

如此一来，列下标 “1324” 的逆序数就是：

$$
\tau \left( 1324 \right) = 1
$$

所以：

$$
(-1) ^{\tau \left( 1324 \right)} \cdot 3x \cdot x \cdot x \cdot \left( -2x \right) = 6 x ^{4}
$$

因此，$x ^{*} 4$ 的系数是：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
6
}
}
$$

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