行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？

一、前言

我们知道，$n$ 阶行列式的定义公式如下，同时，下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_m\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}{(-1)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_n$$

那么，如何理解上面这个公式呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题，为同学们讲明白这个知识点。

二、正文

首先，”$\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}$” 是一个求和符号，指的是将其后的 “${(-1)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_n$” 产生的每一项豆相加；

接着，”${(-1)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}$” 表示 $-1$ 的次幂是 $j_1{j}_2\cdots j_n$ 这几个数的逆序数（有关逆序数的计算，可以参考荒原之梦考研数学的这篇文章），很明显，当逆序数 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 为偶数的时候，这部分就等于 $1$, 当逆序数 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 为奇数的时候，这部分就等于 $-1$.

最不易理解的是 “$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_n$”——这里的 “$a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_n$” 指的是行列式的“第 $1$ 行”、“第 $2$ 行”，直到“第 $n$ 行”，对应的 “$j_1$, $j_2$, $\cdots$, $j_n$” 则指的是行列式的“第 $j_1$ 列”、“第 $j_2$ 列”，直到“第 $j_n$ 列”——

需要特别注意的是，这里的 “$j_1$, $j_2$, $\cdots$, $j_n$”, 指的不一定是行列式的“第 $1$ 列”、“第 $2$ 列”，直到“第 $n$ 列”，这是因为，行列式展开式中的每一项中包含的元素都要满足来自“不同行不同列”的要求。

也就是说，在确定行列式展开式中的某一项的时候，我们首先要做的是对行列式从上到下，从第 $1$ 行到第 $n$ 行开始“扫描”，在这个过程中，每行选取一个列上的元素，且整个选取过程中，不能出现列相同的元素。

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例题

求解行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3x& 1& 2& 3\\ 2& 5& x& 3\\ 2x& x& 2& 3\\ 6& 2& 0& –2x\end{array}\right|$ 的展开式中 $x^4$ 的系数。

解析

只要理解了前文的行列式定义式，我们就可以顺利完成本题的求解。

观察可知，题目所给的行列式中所含的带有 $x$ 的元素的次幂都是 $1$, 而且，根据前面所述的行列式的计算公式可知，我们在每行只能选取一个元素，因此，从该行列式的第 $1$ 行到第 $4$ 行，我们在每一行都必须选择一个含有 $x$ 的元素，相乘才能得到 $x$ 的四次方。

于是：

第 $1$ 行选第 $1$ 列的元素：$\mathbf{3}\mathit{x}$;
第 $2$ 行选第 $3$ 列的元素：$\mathit{x}$;
第 $3$ 行选第 $2$ 列的元素：$\mathit{x}$;
第 $4$ 行选第 $4$ 列的元素：$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}$.

于是，我们在行列式中选取的元素就是：

$$\left|\begin{array}{cccc}\mathbf{3}\mathit{x}& 1& 2& 3\\ 2& 5& \mathit{x}& 3\\ 2x& \mathit{x}& 2& 3\\ 6& 2& 0& \mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\end{array}\right|$$

如此一来，列下标 “1324” 的逆序数就是：

$$\tau \left(1324\right)=1$$

所以：

$$(-1{)}^{\tau \left(1324\right)}\cdot 3x\cdot x\cdot x\cdot (-2x)=6x^4$$

因此，$x^{\ast }4$ 的系数是：

$$\mathbf{6}$$

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