一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
我们知道,$n$ 阶行列式的定义公式如下,同时,下面的公式也是计算 $n$ 阶行列式的通用公式:
$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m} \end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$
那么,如何理解上面这个公式呢?
在本文中,荒原之梦考研数学将通过一点点的拆解剖析和例题,为同学们讲明白这个知识点。
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
首先,”$\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}}$” 是一个求和符号,指的是将其后的 “$\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}$” 产生的每一项豆相加;
接着,”$\textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}}$” 表示 $-1$ 的次幂是 $j_{1}j_{2} \cdots j_{n}$ 这几个数的逆序数(有关逆序数的计算,可以参考荒原之梦考研数学的这篇文章),很明显,当逆序数 $\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 为偶数的时候,这部分就等于 $1$, 当逆序数 $\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)$ 为奇数的时候,这部分就等于 $-1$.
最不易理解的是 “$\textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}$”——这里的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 指的是行列式的“第 $1$ 行”、“第 $2$ 行”,直到“第 $n$ 行”,对应的 “$j_{1}$, $j_{2}$, $\cdots$, $j_{n}$” 则指的是行列式的“第 $j_{1}$ 列”、“第 $j_{2}$ 列”,直到“第 $j_{n}$ 列”——
需要特别注意的是,这里的 “$j_{1}$, $j_{2}$, $\cdots$, $j_{n}$”, 指的不一定是行列式的“第 $1$ 列”、“第 $2$ 列”,直到“第 $n$ 列”,这是因为,行列式展开式中的每一项中包含的元素都要满足来自“不同行不同列”的要求。
也就是说,在确定行列式展开式中的某一项的时候,我们首先要做的是对行列式从上到下,从第 $1$ 行到第 $n$ 行开始“扫描”,在这个过程中,每行选取一个列上的元素,且整个选取过程中,不能出现列相同的元素。
Next
例题
求解行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } 3 x & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & x & 3 \\ 2x & x & 2 & 3 \\ 6 & 2 & 0 & – 2 x \end{array} \right|$ 的展开式中 $x ^ { 4 }$ 的系数。
解析
只要理解了前文的行列式定义式,我们就可以顺利完成本题的求解。
观察可知,题目所给的行列式中所含的带有 $x$ 的元素的次幂都是 $1$, 而且,根据前面所述的行列式的计算公式可知,我们在每行只能选取一个元素,因此,从该行列式的第 $1$ 行到第 $4$ 行,我们在每一行都必须选择一个含有 $x$ 的元素,相乘才能得到 $x$ 的四次方。
于是:
第 $1$ 行选第 $1$ 列的元素:$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3x}}$;
第 $2$ 行选第 $3$ 列的元素:$\textcolor{pink}{\boldsymbol{x}}$;
第 $3$ 行选第 $2$ 列的元素:$\textcolor{orangered}{\boldsymbol{x}}$;
第 $4$ 行选第 $4$ 列的元素:$\textcolor{yellow}{\boldsymbol{-2x}}$.
于是,我们在行列式中选取的元素就是:
$$
\left| \begin{array} { c c c c } \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{3 x}} & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & \textcolor{pink}{\boldsymbol{x}} & 3 \\ 2x & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{x}} & 2 & 3 \\ 6 & 2 & 0 & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{- 2 x}} \end{array} \right|
$$
如此一来,列下标 “1324” 的逆序数就是:
$$
\tau \left( 1324 \right) = 1
$$
所以:
$$
(-1) ^{\tau \left( 1324 \right)} \cdot 3x \cdot x \cdot x \cdot \left( -2x \right) = 6 x ^{4}
$$
因此,$x ^{*} 4$ 的系数是:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
6
}
}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。