一、题目
设函数 $f(x)$ $=$ $x$ $+$ $a$ $\ln(1+x)$ $+$ $bx$ $\sin x$, $g(x)$ $=$ $k$ $x^{3}$ 在 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时等价无穷小，求常数 $a$, $b$, $k$ 的取值.
二、解析
由于 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小，因此有：
$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $1$, 即：
$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+a \ln(1+x) + bx \sin x}{kx^{3}}$ $=$ $1$.
又由麦克劳林公式：
1. $\sin x$ $=$ $x$ $+$ $o(x^{2})$;
注 1：
根据麦克劳林公式，$\sin x$ 也可以等于 $x$ $-$ $\frac{x^{3}}{6}$ $+$ $o(x^{4})$, 但是这里为了能够在接下来的计算中使得分子分母可以使用“对照”的方式求解，分子的最大幂次不能大于分母的最大幂次。由于 $\sin x$ 在使用麦克劳林公式替换之后还需要和 $x$ 相乘得到二次幂，因此这里只能令 $\sin x$ 等于 $x$ $+$ $o(x^{2})$.
2. $\ln(1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $o(x^{3})$.
注 2：
对 $\ln(1+x)$ 项数的选取所依据的原因和注 $1$ 一致。
于是，我们有：
$1$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{x+ax-\frac{a}{2}x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})+bx^{2}+o(x^{3})}{kx^{3}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^{2}+\frac{a}{3}x^{3}+o(x^{3})}{kx^{3}}$.
于是，我们有：
$\left\{\begin{matrix} 1+a=0,\\ b-\frac{a}{2}=0,\\ \frac{a}{3}=k. \end{matrix}\right.$
解得：
$\left\{\begin{matrix} a=-1,\\ b=-\frac{1}{2},\\ k=-\frac{1}{3}. \end{matrix}\right.$
三、手写作答
EOF