混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

题目

解析

首先，由题目可知：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial u } { \partial x } & = \left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \\ \\
\frac { \partial u } { \partial y } & = – f ( x ) \cos y
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } & = \left[ \textcolor{orangered}{ f ( x ) } – e ^ { x } \right] \cos y \\ \\
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial ^ { x } } & = – \textcolor{orangered}{ f ^ { \prime } ( x ) } \cos y
\end{aligned}
$$

由于 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f ^{\prime} (x)$ 以及连续的初等函数，通过四则运算组成，因此，二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 的连续性，就取决于 $f(x)$ 和 $f ^{\prime} (x)$ 的连续性。

又由于 $f ^{\prime} (x)$ 连续，因此，$f ^{\prime} (x)$ 存在，也就是说 $f(x)$ 可导，根据“可导必连续”的定理可知，$f(x)$ 也连续。

综上，二元函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别都是连续的，因此，下式也成立：

$$
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }
$$

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