题目
己知 $f ( x )$ 具有一阶连读导数, 且 $\left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \mathrm{~d} x$ $-$ $f ( x ) \cos y \mathrm{~d} y$ 是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分,则这个二元函数 $u(x, y)$ 是否具有二阶连续偏导数?
解析
首先,由题目可知:
$$
\begin{aligned}
\frac { \partial u } { \partial x } & = \left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \\ \\
\frac { \partial u } { \partial y } & = – f ( x ) \cos y
\end{aligned}
$$
于是:
$$
\begin{aligned}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } & = \left[ \textcolor{orangered}{ f ( x ) } – e ^ { x } \right] \cos y \\ \\
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial ^ { x } } & = – \textcolor{orangered}{ f ^ { \prime } ( x ) } \cos y
\end{aligned}
$$
由于 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f ^{\prime} (x)$ 以及连续的初等函数,通过四则运算组成,因此,二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 的连续性,就取决于 $f(x)$ 和 $f ^{\prime} (x)$ 的连续性。
又由于 $f ^{\prime} (x)$ 连续,因此,$f ^{\prime} (x)$ 存在,也就是说 $f(x)$ 可导,根据“可导必连续”的定理可知,$f(x)$ 也连续。
综上,二元函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别都是连续的,因此,下式也成立:
$$
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }
$$
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