混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

题目

解析

首先，由题目可知：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =[f(x)–e^x]\sin y\\ \\ \frac{\partial u}{\partial y}& =–f(x)\cos y\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}& =\left[f(x)–e^x\right]\cos y\\ \\ \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y{\partial }^x}& =–f^{\prime }(x)\cos y\end{array}$$

由于 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f^{\prime }(x)$ 以及连续的初等函数，通过四则运算组成，因此，二阶偏导数 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$ 的连续性，就取决于 $f(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$ 的连续性。

又由于 $f^{\prime }(x)$ 连续，因此，$f^{\prime }(x)$ 存在，也就是说 $f(x)$ 可导，根据“可导必连续”的定理可知，$f(x)$ 也连续。

综上，二元函数 $u(x,y)$ 的二阶偏导数 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$ 和 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$ 分别都是连续的，因此，下式也成立：

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$$

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