设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
第 (1) 问 | 解法二
我们知道，泰勒展开式在求解极限问题的时候很常用，但在本题中，如果我们分别写出 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处的泰勒展开式，再代入原式，并利用题目给定的一些已知条件，就会发现，第 (1) 问要我们证明的式子就迎刃而解了。
而之所以会想到使用泰勒展开式，就是因为题目中给出了一个标志性的条件：$f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, 且要证明的式子中含有一点处的“零阶导” $f(0)$ 和 $f(1)$——
由于一点处的泰勒展开公式就包含一点处的零阶导和一阶导（以及更高阶导），因此，当我们看到一点处的零阶导、一阶导，甚至二阶导的时候，就可以考虑一下能否使用泰勒展开式。
当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的二阶泰勒展开式为：
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2!} x^{2} \tag{1}
$$
其中，$\xi_{1} \in (0, x)$.
当 $x \in(0,1)$ 时，$f(x)$ 在 $x=1$ 处的二阶泰勒展开式为：
$$
f(x)=f(1)+f^{\prime}(1)(x-1)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)}{2!}(x-1)^{2} \tag{2}
$$
其中，$\xi_{2} \in (x, 1)$.
$(1)$ 式乘以 $\textcolor{springgreen}{(1-x)}$, 得 $(3)$ 式：
$$
\begin{aligned}
& f(x) \cdot \textcolor{springgreen}{(1-x)} = \\ \\
& f(0) \textcolor{springgreen}{(1-x)} + \textcolor{orangered}{f^{\prime}(0) x(1-x)} + \frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2!} x^{2} \textcolor{springgreen}{(1-x)}
\end{aligned}
$$
$(2)$ 式乘以 $\textcolor{blue}{x}$, 得 $(4)$ 式：
$$
\begin{aligned}
& f(x) \cdot\textcolor{blue}{x} = \\ \\
& f(1) \cdot \textcolor{blue}{x} + \textcolor{orangered}{f^{\prime}(1) x(x-1)} + \frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)}{2!} (x-1)^{2} \cdot \textcolor{blue}{x}
\end{aligned}
$$
又由于 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$，得：
$$
\textcolor{orangered}{f^{\prime}(0) x(1-x) + f^{\prime}(1) x(x-1) = 0 }
$$
于是，$(3)$ 式加上 $(4)$ 式，得：
$$
\begin{aligned}
& f(x) (1-x) + f(x) \cdot x \\ \\
& = f(x) \\ \\
& = f(0)(1-x)+f(1) x+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2} x^{2}(1-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)}{2} x(x-1)^{2}
\end{aligned}
$$
对上面得式子进行变形，可得：
$$
\begin{aligned}
& f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \\ \\
& = \frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)}{2} x^{2}(1-x)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)}{2} x(x-1)^{2}
\end{aligned}
$$
对上式加绝对值，可得：
$$
\begin{aligned}
& |f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \\ \\
& =\frac{\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) x^{2}(1-x)+f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right) x(x-1)^{2}\right|}{2} \\
& =\frac{x(1-x)}{2} \cdot\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) x+f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)(1-x)\right|
\end{aligned}
$$
又由于 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 所以：
$$
\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) x+f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)(1-x)\right| \leq x+(1-x)=1
$$
因此可证：
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$