2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

设函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续，其 $2$ 阶导函数 $f”(x)$ 的图形如图 1 所示，则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点的个数为 ( )

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

二、解析

如图 2 所示，令左边的曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_1$, 坐标原点为点 $x_2$, 右边曲线与 $x$ 轴的交点为点 $x_3$:

由于本题涉及 2 阶导数，因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定：

若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处 $f”(x_0)$ $=$ $0$ (或 $f”(x_0)$ 不存在，但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处连续)，若 $f”(x)$ 在 $x_0$ 的左、右两侧邻域内异号，则 $(x_0$, $f(x_0))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点。

我们知道，对于连续函数的图像曲线而言，拐点处的图像曲线要么等于零，要么不存在。图 2 中的 $x_1$, $x_2$, $x_3$ ( $f”(x_2)$ 虽然不存在，但是由题目中给出的“函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上连续”的条件我们知道，$f”(x_2)$ 在点 $x_2$ 的左右两侧邻域是连续的，可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 $x_1$ 两侧的函数都为正($f”(x)$ 的图像在 $x$ 轴上方)，因此，不满足“左右两侧邻域内异号”的条件，因此，点 $x_1$ 不是函数 $f(x)$ 的拐点。点 $x_2$ 和 $x_3$ 两侧邻域的函数图像均异号，因此点 $x_2$ 和 $x_3$ 满足函数拐点存在的充分条件，函数 $f(x)$ 有两个拐点。

综上可知，本题的正确选项是：$C$.

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