2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

曲线 $y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2{)}^2$ $(x-3{)}^3$ $(x-4{)}^4$ 的拐点是 ( )

( A ) $(1,0)$.

( B ) $(2,0)$.

( C ) $(3,0)$.

( D ) $(4,0)$.

二、解析

本题主要涉及求导，曲线的凹凸性，曲线凹凸性的判定，拐点的定义，拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对 $I$ 上任意两点 $x_1$, $x_2$, 恒有：

$f(\frac{x_1+x_2}{2})$ $<$ $(>)$ $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,

则称曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在区间 $I$ 上是向凹（凸）的.

曲线凹凸性的判定如下：

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有二阶导数，那么：

① 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $>$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的;

② 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $<$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的.

拐点的定义如下：

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内连续，$x_0$ 是 $I$ 的内点，如果曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在经过点 $(x_0,$ $f(x_0))$ 时凹凸性发生了改变，则称点 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下：

第一充分条件：若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处 $f”(x_0)$ $=0$ (或 $f”(x_0)$ 不存在，但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 处连续)，若 $f”(x)$ 在 $x_0$ 的左右两侧邻域异号，则 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$的拐点.
第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_0$ 的某邻域内有三阶导数，且 $f”(x_0)$ $=$ $0$, $f{”}^{\prime }(x_0)$ $\ne$ $0$, 则 $(x_0,$ $f(x_0))$ 为 $f(x)$ 的拐点.

回到本题。本题的原式是：

$y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2{)}^2$ $(x-3{)}^3$ $(x-4{)}^4$.

观察可知，当 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$ 时都可以使 $y$ $=$ $0$, 而我们在找拐点的时候，最重要的就是找到哪个点是大于零的，哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的，上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数，但是上面的式子太长，求导之后会更长，为了方便计算，尽可能避免出错，我们作如下约定：

令：

$A$ $=$ $(x-1)$;

$B$ $=$ $(x-2{)}^2$;

$C$ $=$ $(x-3{)}^3$;

$D$ $=$ $(x-4{)}^4$.

之后，我们有：

原式 $=$ $y$ $=$ $ABCD$.

于是我们有：

$y^{\prime }$ $=$ $A^{\prime }BCD$ $+$ $A(BCD{)}^{\prime }$;

$y”$ $=$ $A”BCD$ $+$ $A^{\prime }(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A(BCD)”$;

$y{”}^{\prime }$ $=$ $A{”}^{\prime }BCD$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }(BCD)”$ $+$ $A”(BCD{)}^{\prime }$ $+$ $A^{\prime }BCD”$ $+$ $A^{\prime }(BCD)”$ $+$ $A(BCD){”}^{\prime }$;

令 $y^{\prime }$ $=$ $0$, 则有：

$y^{\prime }(2)$ $=$ $y^{\prime }(3)$ $=$ $y^{\prime }(4)$ $=$ $0$;

$y^{\prime }(1)$ $\ne$ $0$. ($x$ $=$ $1$ 对应 $A$, 但是 $A^{\prime }$ 是一个常数，不受 $x$ 的影响，因此 $x$ $=$ $1$ 不会使 $y^{\prime }$ $=$ $0$, 以下计算过程中的判断与此类似.)

令 $y”$ $=$ $0$, 则有：

$y”(3)$ $=$ $y”(4)$ $=$ $0$;

$y”(1)$ $\ne$ $0$, $y”(2)$ $\ne$ $0$.

令 $y{”}^{\prime }$ $=$ $0$, 则有：

$y{”}^{\prime }(4)$ $=$ $0$;

$y{”}^{\prime }(1)$ $\ne$ $0$, $y{”}^{\prime }(2)$ $\ne$ $0$, $y{”}^{\prime }(3)$ $\ne$ $0$.

通过上面的计算我们知道，$y”(3)$ $=$ $0$ 且 $y{”}^{\prime }(3)$ $\ne$ $0$, 因此，根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件，点 $(3,0)$ 是曲线 $y$ 的拐点。

综上可知，本题的正确选项是：C

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