一、题目
曲线 $y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2)^{2}$ $(x-3)^{3}$ $(x-4)^{4}$ 的拐点是 ( )
( A ) $(1,0)$.
( B ) $(2,0)$.
( C ) $(3,0)$.
( D ) $(4,0)$.
二、解析
本题主要涉及求导，曲线的凹凸性，曲线凹凸性的判定，拐点的定义，拐点存在的充分条件这些知识。
曲线凹凸性的定义如下：
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，若对 $I$ 上任意两点 $x_{1}$, $x_{2}$, 恒有：
$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$ $<$ $(>)$ $\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$,
则称曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在区间 $I$ 上是向凹（凸）的.
曲线凹凸性的判定如下：
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有二阶导数，那么：
① 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $>$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的;
② 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $<$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的.
拐点的定义如下：
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 内连续，$x_{0}$ 是 $I$ 的内点，如果曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在经过点 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 时凹凸性发生了改变，则称点 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为曲线的拐点.
拐点存在的充分条件如下：
第一充分条件：若曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处 $f”(x_{0})$ $=0$ (或 $f”(x_{0})$ 不存在，但 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处连续)，若 $f”(x)$ 在 $x_{0}$ 的左右两侧邻域异号，则 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为曲线 $y$ $=$ $f(x)$的拐点.
第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 的某邻域内有三阶导数，且 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$, 则 $(x_{0},$ $f(x_{0}))$ 为 $f(x)$ 的拐点.
回到本题。本题的原式是：
$y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2)^{2}$ $(x-3)^{3}$ $(x-4)^{4}$.
观察可知，当 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$ 时都可以使 $y$ $=$ $0$, 而我们在找拐点的时候，最重要的就是找到哪个点是大于零的，哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的，上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。
求拐点的过程中少不了要计算导数，但是上面的式子太长，求导之后会更长，为了方便计算，尽可能避免出错，我们作如下约定：
令：
$A$ $=$ $(x-1)$;
$B$ $=$ $(x-2)^{2}$;
$C$ $=$ $(x-3)^{3}$;
$D$ $=$ $(x-4)^{4}$.
之后，我们有：
原式 $=$ $y$ $=$ $ABCD$.
于是我们有：
$y’$ $=$ $A’BCD$ $+$ $A(BCD)’$;
$y”$ $=$ $A”BCD$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A(BCD)”$;
$y”’$ $=$ $A”’BCD$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A’BCD”$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A(BCD)”’$;
令 $y’$ $=$ $0$, 则有：
$y'(2)$ $=$ $y'(3)$ $=$ $y'(4)$ $=$ $0$;
$y'(1)$ $\neq$ $0$. ($x$ $=$ $1$ 对应 $A$, 但是 $A’$ 是一个常数，不受 $x$ 的影响，因此 $x$ $=$ $1$ 不会使 $y’$ $=$ $0$, 以下计算过程中的判断与此类似.)
令 $y”$ $=$ $0$, 则有：
$y”(3)$ $=$ $y”(4)$ $=$ $0$;
$y”(1)$ $\neq$ $0$, $y”(2)$ $\neq$ $0$.
令 $y”’$ $=$ $0$, 则有：
$y”'(4)$ $=$ $0$;
$y”'(1)$ $\neq$ $0$, $y”'(2)$ $\neq$ $0$, $y”'(3)$ $\neq$ $0$.
通过上面的计算我们知道，$y”(3)$ $=$ $0$ 且 $y”'(3)$ $\neq$ $0$, 因此，根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件，点 $(3,0)$ 是曲线 $y$ 的拐点。
综上可知，本题的正确选项是：C
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