2024年考研数二第10题解析：相似对角化、矩阵的特征值与特征向量

一、题目

难度评级：

二、解析

充分性的证明

充分性的证明就是要证明由 “$A$ 有两个不相等的特征值” 能推出 “$B$ 可对角化”。

证明方法一

设：

$$
A \alpha=\lambda \alpha
$$

对上式两端同时左乘 $B$ 得：

$$
B A \alpha = B \lambda \alpha \Rightarrow
$$

$$
B A \alpha = \lambda B \alpha
$$

又由 $AB = BA$, 得：

$$
\textcolor{pink}{A} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B \alpha}} = \textcolor{springgreen}{\lambda} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{B \alpha}}
$$

接着：

(1) 若 $B \alpha \neq 0$, 则 $B \alpha$ 就是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。若 $B \alpha = k \alpha$ $(k \neq 0)$, 则 $\alpha$ 就是矩阵 $B$ 对应于 $\lambda=k$ 的特征向量；

(2)若 $B \alpha=0$, 则 $B \alpha$ 仍然是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。且此时只能有 $B \alpha = 0 \cdot \alpha$, 即 $\alpha$ 为矩阵 $B$ 对应于 $\lambda=0$ 的特征向量。

因此，无论那种情况，$\alpha$ 一定是矩阵 $B$ 的特征向量, 即 $A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量。

又因为矩阵 $A$ 有两个不相等的特征值，因此矩阵 $A$ 一定有两个线性无关的特征向量，则矩阵 $B$ 也一定有两个线性无关的特征向量，根据《什么样的矩阵一定可以相似对角化？》这篇文章可知，矩阵 $B$ 一定可以相似对角化。

综上，充分性成立。

证明方法二

设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, $\left(\lambda_{1} \neq \lambda_{2}\right)$, 对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, 若令：

$$
\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)
$$

则根据相似对角化的性质，可得：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ll}\lambda_{1} & \\ & \lambda_{2}\end{array}\right)
$$

又由题可知：

$$
\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}
$$

于是：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{ \textcolor{springgreen}{B \alpha}}_{\textcolor{springgreen}{i}}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{i} = \boldsymbol{B} \lambda_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=\lambda_{i} \boldsymbol{\textcolor{springgreen}{B \alpha}}_{\textcolor{springgreen}{i}}
$$

其中 $i=1, \ 2$.

因此，矩阵 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}_{i}$ 也是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量。

所以 $B \boldsymbol{\alpha}_{i}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ 线性相关, 即：

$$
\boldsymbol{B} \boldsymbol{\alpha}_{i}=k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}
$$

其中 $i=1, \ 2$.

于是：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B P} \\
& = \boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right) \\
& = \left(\boldsymbol{ B \alpha}_{1}, \boldsymbol{B \alpha}_{2}\right) \\
& = \left(k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}, k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}\right) \\
& = \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)\left(\begin{array}{ll}
k_{1} & \\
& k_{2}
\end{array}\right) \\
& = \boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ll}
k_{1} & \\
& k_{2}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

因此：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}=\left(\begin{array}{ll}k_{1} & \\ & k_{2}\end{array}\right)
$$

由于我们已经将矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的对角矩阵 $\left(\begin{array}{ll}k_{1} & \\ & k_{2}\end{array}\right)$ 求出来了，所以矩阵 $B$ 一定可以相似对角化。

综上，充分性成立。

必要性的证明

必要性的证明就是要证明由 “$B$ 可对角化” 能推出 “$A$ 有两个不相等的特征值”。

若矩阵 $B=\left(\begin{array}{ll}1 & \\ & 2\end{array}\right)$, 则矩阵 $B$ 可以相似对角化。

若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & \\ & 1\end{array}\right)$, 或者 $A=kE$, 则 $A B=B A$ 也成立，但是，此时的矩阵 $A$ 有两个相等的特征值，必要性不成立。

综上可知，本题应选 B .

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