2024年考研数二第10题解析:相似对角化、矩阵的特征值与特征向量

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

充分性的证明

充分性的证明就是要证明由 “A 有两个不相等的特征值” 能推出 “B 可对角化”。

证明方法一

设:

Aα=λα

对上式两端同时左乘 B 得:

BAα=Bλα

BAα=λBα

又由 AB=BA, 得:

ABα=λBα

接着:

(1) 若 Bα0, 则 Bα 就是矩阵 A 对应于 λ 的特征向量。若 Bα=kα (k0), 则 α 就是矩阵 B 对应于 λ=k 的特征向量;

(2)若 Bα=0, 则 Bα 仍然是矩阵 A 对应于 λ 的特征向量。且此时只能有 Bα=0α, 即 α 为矩阵 B 对应于 λ=0 的特征向量。

因此,无论那种情况,α 一定是矩阵 B 的特征向量, 即 A 的特征向量都是 B 的特征向量。

又因为矩阵 A 有两个不相等的特征值,因此矩阵 A 一定有两个线性无关的特征向量,则矩阵 B 也一定有两个线性无关的特征向量,根据《什么样的矩阵一定可以相似对角化?》这篇文章可知,矩阵 B 一定可以相似对角化。

综上,充分性成立。

证明方法二

A 的特征值为 λ1,λ2, (λ1λ2), 对应的特征向量分别为 α1,α2, 若令:

P=(α1,α2)

则根据相似对角化的性质,可得:

P1AP=(λ1λ2)

又由题可知:

AB=BA

于是:

ABαi=BAαi=Bλiαi=λiBαi

其中 i=1, 2.

因此,矩阵 Bαi 也是矩阵 A 对应于特征值 λi 的特征向量。

所以 Bαiαi 线性相关, 即:

Bαi=kiαi

其中 i=1, 2.

于是:

BP=B(α1,α2)=(Bα1,Bα2)=(k1α1,k2α2)=(α1,α2)(k1k2)=P(k1k2)

因此:

P1BP=(k1k2)

由于我们已经将矩阵 B 的对角矩阵 (k1k2) 求出来了,所以矩阵 B 一定可以相似对角化。

综上,充分性成立。

必要性的证明

必要性的证明就是要证明由 “B 可对角化” 能推出 “A 有两个不相等的特征值”。

若矩阵 B=(12), 则矩阵 B 可以相似对角化。

若矩阵 A=(11), 或者 A=kE, 则 AB=BA 也成立,但是,此时的矩阵 A 有两个相等的特征值,必要性不成立。

综上可知,本题应选 B .


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