2023年考研数一第07题解析：一个向量能被其余向量表示就意味着这些向量可以组成一个线性方程组

一、题目

已知向量 $\alpha_{1} = \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$, $\alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, $\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right)$, $\beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$. 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 表示, 也可由
$\beta_{1}$, $\beta_{2}$ 表示, 则 $\gamma$ 为 ($\quad$)

难度评级：

二、解析

首先，我们将题目中的语言“翻译”一下，就是：

$$
\gamma = x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2} = y_{1} \beta_{1}+y_{2} \beta_{2}
$$

进而，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}-y_{1} \beta_{1}-y_{2} \beta_{2}=0
}
$$

上式可以看作是一个齐次线性方程组，其系数矩阵 $A$ 为：

$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2},-\beta_{1},-\beta_{2}\right)
$$

又：

$$
\begin{aligned}
A \\ \\
& = \left(\alpha_{1}, \alpha_{2},-\beta_{1},-\beta_{2}\right) \\ \\
& = \left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & -2 & -1 \\
2 & 1 & -5 & 0 \\
3 & 1 & -9 & -1
\end{array}\right) \\ \\
& \Rightarrow \left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

即 $r(A)$ $=$ $3$ $<$ $4$.

于是可知，系数矩阵 $A$ 含有一个自由未知数，若令其第 $4$ 个未知数为自由未知数 $\textcolor{orangered}{1}$, 则对应的齐次微分方程的解为：

$$
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
y_{1} \\
y_{2}
\end{bmatrix} = k_{1} \cdot \begin{bmatrix}
-3 \\
\ \ \ 1 \\
-1 \\
\ \ \ \textcolor{orangered}{1}
\end{bmatrix}
$$

即：

$$
\begin{cases}
x_{1} = -3 k_{1} \\
x_{2} = k_{1}
\end{cases}
$$

又：

$$
\gamma = x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\gamma \\ \\
& = x_{1} \alpha_{1} + x_{2} \alpha_{2} \\ \\
& = x_{1} \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix} + x_{2} \begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} \\ \\
& = -3k_{1} \begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix} + k_{1} \begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} \\ \\
& = k_{1} \begin{bmatrix}
-1 \\
-5 \\
-8
\end{bmatrix} = k \begin{bmatrix}
1 \\
5 \\
8
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

其中，$k_{1} \in R$, $k \in R$.

综上可知，本题应选 D.

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