2023年考研数一第07题解析：一个向量能被其余向量表示就意味着这些向量可以组成一个线性方程组

一、题目

已知向量 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$, ${\alpha }_2=\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, ${\beta }_1=\left(\begin{array}{l}2\\ 5\\ 9\end{array}\right)$, ${\beta }_2=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$. 若 $\gamma$ 既可由 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ 表示, 也可由
${\beta }_1$, ${\beta }_2$ 表示, 则 $\gamma$ 为 ($$)

难度评级：

二、解析

首先，我们将题目中的语言“翻译”一下，就是：

$$\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2$$

进而，可得：

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2-y_1{\beta }_1-y_2{\beta }_2=0$$

上式可以看作是一个齐次线性方程组，其系数矩阵 $A$ 为：

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\beta }_1,-{\beta }_2)$$

又：

$$\begin{array}{r}A\\ \\ & =({\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\beta }_1,-{\beta }_2)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -2& -1\\ 2& 1& -5& 0\\ 3& 1& -9& -1\end{array}\right)\\ \\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\end{array}$$

即 $r(A)$ $=$ $3$ $<$ $4$.

于是可知，系数矩阵 $A$ 含有一个自由未知数，若令其第 $4$ 个未知数为自由未知数 $1$, 则对应的齐次微分方程的解为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ y_1\\ y_2\end{array}\right]=k_1\cdot \left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$

即：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-3k_1\\ x_2=k_1\end{array}$$

又：

$$\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2$$

因此：

$$\begin{array}{r}\gamma \\ \\ & =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2\\ \\ & =x_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ \\ & =-3k_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]+k_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]\\ \\ & =k_1\left[\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -8\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right]\end{array}$$

其中，$k_1\in R$, $k\in R$.

综上可知，本题应选 D.

---