两个相等的无穷小量的等价无穷小也相等

一、题目

已知 $\cos x-1$ $=$ $x\sin \alpha (x)$, 其中 $|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$, 则当 $x\to 0$ 时, $\alpha (x)$ 是 ( ).

二、解析

根据常用的等价无穷小公式，可知：

$$\cos x-1\sim \frac{-1}{2}{x}^2$$

又由题意可知，$\alpha (x)$ 也是一个无穷小量，因此：

$$x\sin \alpha (x)\sim x\alpha (x)$$

于是，由 $\cos x-1$ $=$ $x\sin \alpha (x)$ 可知：

$$\frac{-1}{2}{x}^2=x\alpha (x)\Rightarrow$$

$$\alpha (x)=\frac{-1}{2}x$$

综上可知，$\alpha (x)$ 为 $x$ 的同阶而非等价的无穷小，正确选项为 C.

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