不可逆矩阵乘上一个可逆矩阵得不可逆矩阵

一、题目

已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& a\\ 1& 0& b\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$, 三维列向量 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$ 线性无关, 而 $A{\alpha }_1$, $A{\alpha }_2$, $A{\alpha }_3$ 线性相关, 则参数 $a$ 和 $b$ 应满足什么关系?

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\ne 0$$

又：

$$|A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3|=0$$

于是：

$$|A||{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=0\Rightarrow$$

$$|A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}0& 2& a\\ 1& 0& b\\ 2& 1& 0\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$4b+a=0$$

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