2023年考研数二第01题解析：渐近线、等价无穷小

一、题目

$y = x \ln (e + \frac{1}{x - 1})$ 的斜渐近线方程是 ( )

(A) $y = x + e$

(B) $y = x + \frac{1}{e}$

(D) $y = x - \frac{1}{e}$

难度评级：

首先，由选项可知，该斜渐近线的斜率一定为：

$k = 1$

当然，我们也可以按照传统方法，先求解 $k$ :

$k = lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} =$

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (e + \frac{1}{x - 1})}{x} =$

$lim_{x \to \infty} \ln (e + \frac{1}{x - 1}) = \ln e = 1$

接着，开始求解截距 $b$ :

$b = lim_{x \to \infty} (y = k x) =$

$lim_{x \to \infty} [x \ln (e + \frac{1}{x - 1}) - x] =$

$lim_{x \to \infty} x [\ln (e + \frac{1}{x - 1}) - 1] =$

$lim_{x \to \infty} x [\ln (e + \frac{1}{x - 1}) - \ln e] =$

$lim_{x \to \infty} x [\ln (1 + \frac{1}{e (x - 1)})] =$

等价无穷小替换：

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e (x - 1)} =$

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e x} = \frac{1}{e}$

于是，斜渐近线为：

$y = k x + b \Rightarrow$

$y = x + \frac{1}{e}$

综上可知，正确选项为：B.

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