震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目

(A) ( I ) $a>0$; ( II ) $a>1$; ( III ) $a>2$

(B) ( I ) $a>1$; ( II ) $a>2$; ( III) $a>3$

(C) ( I ) $a>0$; ( II ) $a⩾1$; ( III ) $a⩾2$

(D) ( I ) $a>0$; ( II ) $a⩾2$; ( III ) $a⩾3$

难度评级：

二、解析

一、

由于 $|\sin \frac{1}{x}|$ 在 $(0,1)$ 之间震荡，具有自限性。

因此，当 $a>0$ 时：

$$|f(x)|=||x{|}^a\sin \frac{1}{x}|⩽|x{|}^a$$

此时：

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0=f(0)$$

即，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 连 续 。

二、

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x{|}^a}{x}\sin \frac{1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}|x{|}^{a-1}\sin \frac{1}{x}$$

于是，当 $a>1$ 时，

$$|f^{\prime }(0)|⩽|x{|}^{a-1}\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$$

即，当 $a>1$ 时，$f(x)$ 可 导 。

三、

$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}a{x}^{a-1}\sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\cdot x^a\cdot \cos \frac{1}{x},& a>0\\ \\ 0,& a=0\\ \\ -a(-x{)}^{a-1}\sin \frac{1}{x}-\frac{(-x{)}^a}{x^2}\cos \frac{1}{x},& a<0\end{array}$$

由于：

$$a>2\Rightarrow \frac{x^a}{x^2}\to 0,\frac{(-x{)}^a}{x^2}\to 0$$

即，当 $a>2$ 时，$f(x)$ 可 导 ，且导数 连 续 。