当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了

一、题目

设积分区域 $D$ 是由直线 $y=0,y=x$ 与曲线 $y=\sqrt{4x-x^2},y=\sqrt{9x-x^2}$ 围成的平面图形, 则 ${\iint }_D\frac{y^2}{x^2}\mathrm{d}\sigma =?$

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二、解析

先确定积分区域的形状：

$$y=\sqrt{4x-x^2}\Rightarrow x^2+y^2-4x\le 0\Rightarrow$$

$$(x-2{)}^2+y^2\le 4$$

$$y=\sqrt{9x-x^2}\Rightarrow x^2+y^2-9x\le 0\Rightarrow$$

$$(x-3{)}^2+y^2\le 9$$

又：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow \theta (0,\frac{\pi }{4}),r\in (4\cos \theta ,9\cos \theta )$$

于是：

$$I={\iint }_D\frac{y^2}{x^2}\mathrm{d}\theta ={\iint }_D\frac{r^2{\sin }^2\theta }{r^2{\cos }^2\theta }r\mathrm{d}\theta =$$

$${\iint }_D\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }r\mathrm{d}\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta {\int }_{4\cos \theta }^{9\cos \theta }r\mathrm{d}r\Rightarrow$$

$$I=\frac{65}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{65}{2}\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(1-\cos 2\theta )\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{65}{4}\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos \theta )\mathrm{d}\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{65}{8}(\frac{\pi }{2}-1)=\frac{65}{16}(\pi -2)$$