一、题目
设积分区域 $D$ 是由直线 $y=0, y=x$ 与曲线 $y=\sqrt{4 x-x^{2}}, y=\sqrt{9 x-x^{2}}$ 围成的平面图形, 则 $\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}} \mathrm{~d} \sigma=?$
难度评级：
二、解析 
先确定积分区域的形状：
$$
y=\sqrt{4 x-x^{2}} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-4 x \leq 0 \Rightarrow
$$
$$
(x-2)^{2}+y^{2} \leq 4
$$
$$
y=\sqrt{9 x-x^{2}} \Rightarrow x^{2}+y^{2}-9 x \leq 0 \Rightarrow
$$
$$
(x-3)^{2}+y^{2} \leq 9
$$
又：
$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}\right. \Rightarrow \theta\left(0, \frac{\pi}{4}\right), r \in(4 \cos \theta, 9 \cos \theta)
$$
于是：
$$
I=\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}} \mathrm{~ d} \theta=\iint_{D} \frac{r^{2} \sin ^{2} \theta}{r^{2} \cos ^{2} \theta} r \mathrm{~ d} \theta=
$$
$$
\iint_{D} \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} r \mathrm{~ d} \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \int_{4 \cos \theta}^{9 \cos \theta} r \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{65}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{65}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos 2 \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{65}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{65}{8}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{65}{16}(\pi-2)
$$