这里的 “y” 真的只是 “y”

一、题目

不恒为零的可导函数 $f(x)$, 对任意的 $x,y$ 恒有 $f(x+y)=f(x)f(y)$, 则 $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

在本题中，$x$ 和 $y$ 的「角色」是等同的，$y$ 不是 $x$ 的函数。

由于，题目中要求解 $f(x)$, 因此，我们需要突出 $f(x)$, 所以就不能对 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中的 $x$ 求导，而应该对 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中的 $y$ 求导，将 $x$ 和 $f(x)$ 看成常数：

$$f(x+y)=f(x)f(y)\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f^{\prime }(x+y)=f(x)f^{\prime }(y)\end{array}$$

接着，令 $y=0$:

$$f^{\prime }(x)=f(x)\cdot f^{\prime }(0)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=C{e}^{f^{\prime }(0)x}\Rightarrow$$

$$C_1=f^{\prime }(0),C\ne 0$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(x)=C{e}^{C_{1}x}\end{array}$$

将 $(2)$ 代入原式：

$$f(x+y)=f(x)f(y)\Rightarrow$$

$$C{e}^{C_1(x+y)}=C{e}^{C_{1}x}C{e}^{C_{1}y}\Rightarrow$$

$$C=1\Rightarrow$$

$$f(x)=e^{C_{1}x}$$

其中，$C_1$ 为任意常数。

---