带着根号求导找极值很复杂，可以先平方去根号后再求导

一、题目

曲线 $y=\ln x$ 上点的曲率具有性质：

(A) 最大值为 $\frac{2}{9}\sqrt{3}$

(B) 最小值为 $\frac{1}{8}$

(C) 最大值为 $\frac{1}{9}\sqrt{3}$

(D) 无最大值

难度评级：

二、解析

首先：

$$y=\ln x{y}^{\prime }=\frac{1}{x}{y}^{\prime \prime }=\frac{-1}{x^2},x>0$$

又：

$$K=\frac{\left|y^{\prime \prime }\right|}{{(1+y^{\prime 2})}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow K=\frac{\frac{1}{x^2}}{{(1+\frac{1}{x^2})}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow$$

$$K=\frac{1}{x^2}\frac{|x{|}^3}{\sqrt{{(1+x^2)}^3}}\Rightarrow K=\frac{x}{\sqrt{{(x^2+1)}^3}}\Rightarrow$$

带着根号求导很复杂，因此先平方去根号：

$$K^2=\frac{x^2}{{(x^2+1)}^3}=f(x)$$

于是：

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x{(x^2+1)}^3-x^2\cdot 3{(x^2+1)}^2\cdot 2x}{{(x^2+1)}^6}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x(1-2x^2)}{{(x^2+1)}^4}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)\{\begin{array}{ll}>0,& 0<x^2<\frac{1}{2}\\ =0,& x^2=\frac{1}{2}\\ <0,& x^2>\frac{1}{2}\end{array}$$

于是可知，$f(x)$ 先增后减，在 $x^2=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x>0)$ 处取得最大值：

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{27}{8}}=\frac{4}{27}\Rightarrow$$

$$K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\frac{4}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{9}\sqrt{3}$$

综上可知，本题应选 A.

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