求解斜渐近线：原函数除以 x

一、题目

曲线 $y=2x-\sqrt{x^2-1}$ 的斜渐近线为（）

难度评级：

二、解析

求解函数斜渐近线的注意事项：
§ 首先用原函数除以 x
§ 之后再正无穷大和负无穷大的尺度上考虑上面式子的极限值

$$\frac{2x-\sqrt{x^2-1}}{x}=2–\frac{\sqrt{x^2–1}}{x}\Rightarrow$$

求解斜率：

$$k_1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[2–\frac{\sqrt{x^2–1}}{x}]=2–\frac{x}{x}=1$$

$$k_2=\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}[2–\frac{\sqrt{x^2–1}}{x}]=2–\frac{-x}{x}=3$$

求解常数项：

$$b_1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(y–x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}2x-\sqrt{x^2-1}–1\cdot x=0$$

$$b_2=\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}(y–3x)=\underset{x\to –\mathrm{\infty }}{lim}2x-\sqrt{x^2-1}–3\cdot x=0$$

于是，该曲线的斜渐近线为：

$$\{\begin{array}{l}y=x,x\to +\mathrm{\infty }\\ y=3x,x\to –\mathrm{\infty }\end{array}$$

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