求解斜渐近线：原函数除以 x

一、题目

曲线 $y=2 x-\sqrt{x^{2}-1}$ 的斜渐近线为（）

难度评级：

二、解析

求解函数斜渐近线的注意事项：
§ 首先用原函数除以 x
§ 之后再正无穷大和负无穷大的尺度上考虑上面式子的极限值

$$
\frac{2 x-\sqrt{x^{2}-1}}{x} = 2 – \frac{\sqrt{x^{2} – 1}}{x} \Rightarrow
$$

求解斜率：

$$
k_{1} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \Big[ 2 – \frac{\sqrt{x^{2} – 1}}{x} \Big] = 2 – \frac{x}{x} = 1
$$

$$
k_{2} = \lim_{x \rightarrow – \infty} \Big[ 2 – \frac{\sqrt{x^{2} – 1}}{x} \Big] = 2 – \frac{-x}{x} = 3
$$

求解常数项：

$$
b_{1} = \lim_{x \rightarrow + \infty} (y – x) = \lim_{x \rightarrow + \infty} 2 x-\sqrt{x^{2}-1} – 1 \cdot x = 0
$$

$$
b_{2} = \lim_{x \rightarrow – \infty} (y – 3x) = \lim_{x \rightarrow – \infty} 2 x-\sqrt{x^{2}-1} – 3 \cdot x = 0
$$

于是，该曲线的斜渐近线为：

$$
\begin{cases}
y = x, x \rightarrow + \infty \\
y = 3x, x \rightarrow – \infty
\end{cases}
$$

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