「零负」乘以「零负」得「零正」

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 邻域二阶连续可导且满足 $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime 2}={\arctan }^{2}x$, 则：

(A) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极小值点

(B) $x=0$ 是 $y(x)$ 的极大值点

(C) $(0,y(0))$ 点是 $y=y(x)$ 的拐点

(D) 以上均不对

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime 2}=\arctan {}^{2}x\Rightarrow$$

$$x=0\Rightarrow 0+y^{\prime 2}=0\Rightarrow y^{\prime }=0$$

又：

$$x\to 0^{+}\Rightarrow 0^{+}\cdot y^{\prime \prime }+0^{+}=0^{+}\Rightarrow y^{\prime \prime }\to 0^{+}$$

$$x\to 0^{-}\Rightarrow 0^{-}\cdot y^{\prime \prime }+0^{+}=0^{+}\Rightarrow y^{\prime \prime }\to 0^{-}$$

综上可知，本题应选 C.

---