使用定义判断函数的奇偶性

一、题目

判断函数 $f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 的奇偶性。

二、解析

本题用到的知识点

${\log }_a(MN)$ $=$ ${\log }_{a}M$ $+$ ${\log }_{a}N$

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 $y$ $=$ $\ln (x)$ 的图像：

有图像可以看到，自然对数 $\ln (x)$ 只在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 $X$ 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 $g(x)$ $=$ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ 的定义域来确定 $f(x)$ 的定义域。

因为：

$\sqrt{1+x^2}$ $>$ $\sqrt{x^2}$ $>$ $|x|$ $>$ $0$.

则：

当 $x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 时 $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ $>$ $0$ 满足自然对数函数 $\ln (x)$ 对定义域的要求，而且，当 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ $=$ $\ln (1)$ $=$ $0$ , 也满足奇函数“当 $f(x)$ 在原点处有定义时，$f(0)$ $=$ $0$”的要求。

到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 $y$ 轴对称，还是关于原点对称的问题。

由于：

$f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

$f(-x)$ $=$ $\ln (-x+\sqrt{1+x^2})$

则：

$f(x)$ $+$ $f(-x)$ $=$ $\ln (\sqrt{1+x^2}+x)$ $+$ $\ln (\sqrt{1+x^2}-x)$ $=$ $\ln [(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)]$ $=$ $\ln (1+x^2-x^2)$ $=$ $\ln (1)$ $=$ $0$

上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，$f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是一个奇函数。

此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 $f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 的图像如下：

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

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