使用定义判断函数的奇偶性

一、题目

判断函数 f(x) = ln(x+1+x2) 的奇偶性。

二、解析

本题用到的知识点

loga(MN) = logaM + logaN

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码:

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x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))
x=0:0.01:10; semilogy(x,log(x))
x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 y = ln(x) 的图像:

图 1

有图像可以看到,自然对数 ln(x) 只在 (0,+) 的区间里有定义,不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 X 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数,因此,我们还需要结合 g(x) = x + 1+x2 的定义域来确定 f(x) 的定义域。

因为:

1+x2 > x2 > |x| > 0.

则:

x (,+)x + 1+x2 > 0 满足自然对数函数 ln(x) 对定义域的要求,而且,当 x = 0 时,f(x) = ln(1) = 0 , 也满足奇函数“当 f(x) 在原点处有定义时,f(0) = 0”的要求。

到这里,定义域的问题解决了,下面要解决的是函数是关于 y 轴对称,还是关于原点对称的问题。

由于:

f(x) = ln(x+1+x2)

f(x) = ln(x+1+x2)

则:

f(x) + f(x) = ln(1+x2+x) + ln(1+x2x) = ln[(1+x2+x)(1+x2x)] = ln(1+x2x2) = ln(1) = 0

上面的运算结果符合奇函数的定义,因此,f(x) = ln(x+1+x2) 是一个奇函数。

此外,使用 WolframAlpha 画出的函数 f(x) = ln(x+1+x2) 的图像如下:

图 2.

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

EOF


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