合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？

一、题目

与矩阵 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & -1& \\ & & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}-1& & \\ & -1& \\ & & 0\end{array}\right]$

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二、解析

合同矩阵的性质（如何判断矩阵是合同矩阵）：

§ 矩阵合同的定义：如果对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$, 存在可逆矩阵 $C$, 使得 $C^{\mathrm{\top }}AC=B$, 则称 $A$ 与 $B$ 合同；
§ 实对称矩阵相似一定合同，但一般的矩阵相似不一定合同；
§ 合同的矩阵也不一定相似，合同的实对称矩阵一定相似；
§ 实对称矩阵不相似不一定不合同；
§ 对于实对称矩阵而言，“合同”与“具有相同的正负惯性指数”是等价的。

又：

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ 1& \lambda & 1\\ -1& 1& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2(\lambda -2)-1-1-\lambda -(\lambda -2)-\lambda =0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2(\lambda -2)-(\lambda -2)-2(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)({\lambda }^2+1)(\lambda -1)-2(\lambda +1)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1)[(\lambda -2)(\lambda -1)-2]=0\Rightarrow$$

$$(\lambda +1)({\lambda }^2-3\lambda )=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=3$$

于是可知，矩阵 $A$ 的正惯性指数为 $1$, 负惯性指数为 $1$, 与之匹配的只有选项 B 中的矩阵。

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