合同矩阵有什么性质？什么样的矩阵属于合同矩阵？

一、题目

与矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$ 合同的矩阵是哪个？

(A) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}-1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right]$

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二、解析

合同矩阵的性质（如何判断矩阵是合同矩阵）：

§ 矩阵合同的定义：如果对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$, 存在可逆矩阵 $C$, 使得 $C^{\top} A C = B$, 则称 $A$ 与 $B$ 合同；
§ 实对称矩阵相似一定合同，但一般的矩阵相似不一定合同；
§ 合同的矩阵也不一定相似，合同的实对称矩阵一定相似；
§ 实对称矩阵不相似不一定不合同；
§ 对于实对称矩阵而言，“合同”与“具有相同的正负惯性指数”是等价的。

又：

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ -1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}(\lambda-2)-1-1-\lambda-(\lambda-2)-\lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}(\lambda-2)-(\lambda-2)-2(\lambda+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda-2)\left(\lambda^{2}+1\right)(\lambda-1)-2(\lambda+1)=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda+1)[(\lambda-2)(\lambda-1)-2]=0 \Rightarrow
$$

$$
(\lambda+1)\left(\lambda^{2}-3 \lambda\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=-1, \ \lambda_{2}=0, \ \lambda_{3}=3
$$

于是可知，矩阵 $A$ 的正惯性指数为 $1$, 负惯性指数为 $1$, 与之匹配的只有选项 B 中的矩阵。

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