一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
k & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & k + 3
\end{bmatrix}$ 则 $k$ $=$
⟬A⟭ $k$ $=$ $1$
⟬B⟭ $k$ $>$ $1$
⟬C⟭ $k$ $\leqslant$ $1$
⟬D⟭ $k$ $\geqslant$ $1$
难度评级：
二、解析 
由于正定矩阵的所有顺序主子式都是大于零的，所以，对于此类阶数不是很高的矩阵，我们对其各阶顺序主子式进行逐个判断即可：
$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & k + 3
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow |k| > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{k > 0} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & 0 \\
0 & 0 & k + 3
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow \begin{vmatrix}
k & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix} > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{k-1>0} \\ \\
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{k}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} \\
\textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{0}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{k + 3}}
\end{bmatrix} \\
& \Rightarrow \begin{vmatrix}
k & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & k+3
\end{vmatrix} > 0 \Rightarrow \textcolor{yellow}{(k-1) (k+3) > 0}
\end{aligned}
$$
即：
$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
k > 0 \\
k > 1 \\
k > -3
\end{cases}
}
\Rightarrow
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{k > 1}}
$$
Note
如果 $k$ $>$ $1$, 则 $k$ 也一定大于 $0$ 和 $-3$.
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综上可知，本 题 应 选 B 
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