正定矩阵：各阶顺序主子式都大于零

一、题目

难度评级：

二、解析

由于正定矩阵的所有顺序主子式都是大于零的，所以，对于此类阶数不是很高的矩阵，我们对其各阶顺序主子式进行逐个判断即可：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}\mathit{k}& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& k+3\end{array}\right]\\ & \Rightarrow |k|>0\Rightarrow k>0\\ \\ & \left[\begin{array}{ccc}\mathit{k}& \mathbf{1}& 0\\ \mathbf{1}& \mathbf{1}& 0\\ 0& 0& k+3\end{array}\right]\\ & \Rightarrow \left|\begin{array}{cc}k& 1\\ 1& 1\end{array}\right|>0\Rightarrow k-1>0\\ \\ & \left[\begin{array}{ccc}\mathit{k}& \mathbf{1}& \mathbf{0}\\ \mathbf{1}& \mathbf{1}& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& \mathbf{0}& \mathit{k}\mathbf{+}\mathbf{3}\end{array}\right]\\ & \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}k& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& k+3\end{array}\right|>0\Rightarrow (k-1)(k+3)>0\end{array}$$

即：

$$\{\begin{array}{l}k>0\\ k>1\\ k>-3\end{array}\Rightarrow \mathit{k}\mathbf{>}\mathbf{1}$$

Note

如果 $k$ $>$ $1$, 则 $k$ 也一定大于 $0$ 和 $-3$.

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综上可知，本 题 应 选 B

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