秩对于向量组意味着什么？

一、题目

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 的秩为 $r$, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关

(B) 向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关

(C) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关

(D) 向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关

难度评级：

二、解析

向量组的秩为 $r$ 就意味着极大线性无关组的个数为 $r$, 也就是存在 $r$ 个向量线性无关且任意 $r+1$ 个向量都线性相关。

但是，向量组的秩为 $r$ 并不意味着任意 $r$ 个向量都线性无关，也不意味着任意 $r-1$ 或者 $r-2$ 等个向量线性无关。

综上可知，D 选项正确。

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