线性代数抽象矩阵（块矩阵）运算规则（性质）汇总

一、前言

抽象矩阵是线性代数中的学习和研究中一种很重要的范畴。在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将针对考研数学线性代数中抽象矩阵的运算规律和性质做一个汇总与分析。

二、正文

已知：

1. $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵；
2. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为矩阵 $A$ 或 $B$ 的 $n$ 个特征值；
3. $\lambda$ 和 $\mu$ 为任意实数；

※ 若 $A$ 是 $m$ 阶方阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，则：

$$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A& O\\ C& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A& C\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|\\ \\ \left|\begin{array}{ll}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}O& A\\ B& C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}C& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ $n$ 阶方阵的常用计算性质：

$$\begin{array}{l}|A^{\mathrm{\top }}|=|A|\\ \\ |\lambda A|={\lambda }^n|A|\\ \\ |AB|=|BA|=|A||B|\\ \\ \left|A^k\right|=|A{|}^k\\ \\ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}\text{ （假设矩阵 }A\text{ 可逆）}\\ \\ \left|A^{\ast }\right|=|A{|}^{n-1}(n⩾2)\\ \\ |A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\\ \\ A\text{ 与 }B\text{ 相似 }\Rightarrow |A|=|B|\\ \\ \text{ 一般情况下：}|A+B|\ne |A|+|B|\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 对称矩阵和反对称矩阵：

$$\begin{array}{l}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\Rightarrow A^{\mathrm{\top }}=A\Rightarrow a_{ij}=a_{ji}\\ \\ \mathrm{反}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\Rightarrow A^{\mathrm{\top }}=-A\Rightarrow a_{ij}=-a_{ji},a_{ii}=0\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 矩阵的加法运算规律：

$$\begin{array}{l}A+B=B+A\\ \\ (A+B)+C=A+(B+C)\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 矩阵的数乘运算规律：

$$\begin{array}{l}(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)\\ \\ (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A\\ \\ \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 矩阵的乘法运算规律：

$$\begin{array}{l}{A}_{m\times n}{B}_{n\times s}=C_{m\times s}\\ \\ (AB)C=A(BC)\\ \\ (A+B)C=AC+BC\\ \\ C(A+B)=CA+CB\\ \\ EA=AE=A\\ \\ \text{ 一般地：}AB\ne BA\\ \\ \text{当 }A\ne O\text{ 时：}AB=AC\nRightarrow B=C\\ \\ AB=O\nRightarrow A=O\\ \\ AB=O\nRightarrow B=O\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 方阵的幂运算规律：

$$\begin{array}{l}{A}^3=A\cdot A\cdot A\\ \\ A^k{A}^l=A^{k+l}\\ \\ (A^k{)}^l=A^{kl}\\ \\ \text{一般情况下：}(AB{)}^k\ne A^k{B}^k\\ \\ A^1\cdot A^1=A^{1+1}=A^2\\ \\ (A^1{)}^1=A^{1\times 1}=A^1=A\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 矩阵的转置运算规律：

$$\begin{array}{l}(A^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}=A\\ \\ (A+B{)}^{\mathrm{\top }}=A^{\mathrm{\top }}+B^{\mathrm{\top }}\\ \\ (\lambda A{)}^{\mathrm{\top }}=\lambda A^{\mathrm{\top }}\\ \\ (AB{)}^{\mathrm{\top }}=B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}\text{（脱衣法则）}\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 伴随矩阵的性质：

$$\begin{array}{l}|A^{\ast }|=||A|\cdot A^{-1}|=|A{|}^n\cdot \frac{1}{|A|}=|A{|}^{n-1}(n⩾2)\\ \\ A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E\\ \\ (kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }(n⩾2)\\ \\ (AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }\\ \\ {\left(A^{\ast }\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A\\ \\ {\left(A^{\ast }\right)}^{\mathrm{\top }}={\left(A^{\mathrm{\top }}\right)}^{\ast }\\ \\ {\left(A^{\ast }\right)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A(n⩾3)\\ \\ \text{一般情况下 }\Rightarrow (A+B{)}^{\ast }\ne A^{\ast }+B^{\ast }\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 逆矩阵的性质：

$$\begin{array}{l}{A}^{-1}=B\Rightarrow AB=E\\ \\ (A^{-1}{)}^{-1}=A\\ \\ (kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}\\ \\ (AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}\\ \\ (A^{\mathrm{\top }}{)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{\top }}\\ \\ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\\ \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }\\ \\ \text{一般情况下：}(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 分块矩阵的求逆运算：

$$\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]\\ \\ {\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]\\ \\ {\left[\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ O& B^{-1}\end{array}\right]\\ \\ {\left[\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ -B^{-1}C{A}^{-1}& B^{-1}\end{array}\right]\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 秩的常用结论：

$$\begin{array}{l}0⩽\mathbf{r}(A_{m\times n})⩽\mathbf{min}(m,n)\\ \\ \mathbf{r}(A)=\mathbf{r}(A^{\mathrm{\top }})=\mathbf{r}(A{A}^{\mathrm{\top }})=\mathbf{r}(k{A}^{\mathrm{\top }})(k\ne 0)\\ \\ \mathbf{r}(A+B)⩽\mathbf{r}(A)+\mathbf{r}(B)\Rightarrow \text{ 单独加比一起加大 }\\ \\ \mathbf{max}\{\mathbf{r}(A),\mathbf{r}(B)\}⩽\mathbf{r}(A,B)⩽\mathbf{r}(A)+\mathbf{r}(B)\Rightarrow \text{ 单独加比合并加大 }\\ \\ \mathbf{r}(AB)⩽\mathbf{min}\{\mathbf{r}(A),\mathbf{r}(B)\}\Rightarrow \text{ 越乘越小 }\\ \\ \text{若 }A\text{ 可逆，即 }\mathbf{r}(A)=n,\text{ 则 }\mathbf{r}(AB)=\mathbf{r}(B),\mathbf{r}(BA)=\mathbf{r}(B)\\ \\ \text{若 }A\text{ 的列数为 }n\text{ 且 }{A}_{m\times n}{B}_{n\times s}=O_{m\times s},\text{ 则 }\mathbf{r}(A)+\mathbf{r}(B)⩽n\\ \\ \mathrm{若}A\mathrm{为}n\mathrm{阶}\mathrm{方}\mathrm{阵}，\mathrm{且}n⩾2,\mathrm{则}\mathbf{r}(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& \mathbf{r}(A)=n\\ 1,& \mathbf{r}(A)=n-1\\ 0,& \mathbf{r}(A)<n–1\end{array}\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 等价矩阵的性质：

$$\begin{array}{l}\text{ 反身性：}A\cong A\\ \\ \text{ 对称性：}A\cong B,B\cong A\\ \\ \text{ 传递性：}A\cong B,B\cong C,A\cong C\\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

※ 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$, 特征向量为 $\alpha$, 则：

$$\begin{array}{l}A+kE\text{ 的特征值为：}\lambda ,\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ kA\text{ 的特征值为：}k\lambda ,\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ A^k\text{ 的特征值为：}{\lambda }^k,\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ f(A)\text{ 的特征值为：}f(\lambda ),\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ A^{-1}\text{ 的特征值为：}{\lambda }^{-1},\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ A^{\ast }\text{ 的特征值为：}|A|{\lambda }^{-1},\text{ 特征向量为：}\alpha \\ \\ A^{\mathrm{\top }}\text{ 的特征值为：}\lambda ,\text{ 特征向量不确定}\\ \\ P^{-1}AP\text{ 的特征值为：}\lambda ,\text{ 特征向量为：}{P}^{-1}\alpha \\ \\ zhaokaifeng.com\end{array}$$

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