通过向量组线性相关的性质求解未知数

一、题目

已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{\top}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 线性表示, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\left|\beta_{1}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right|=\left|\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & 1 \\ a & 3 & -1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}0 & 5 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ a & 3 & -1\end{array}\right|=-5\left|\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ a & -1\end{array}\right|=-5(2-a)=
$$

$$
-10+5 a=0 \Rightarrow a=2
$$

其次：

$$
\left|\begin{array}{lll}\beta_{2}, & \alpha_{1}, & \alpha_{2}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}7 & 1 & -2 \\ b & 2 & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{lll}7 & 1 & 0 \\ b & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 5\end{array}\right|=0 \Rightarrow 7+b=4 \Rightarrow b=-3
$$

即：

$$
\begin{cases}
a = 2 \\
b = -3
\end{cases}
$$

---