对向量组是否线性相关的判断可以转化为对行列式是否等于零的判断

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right]$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵。

记向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$; (II) $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$; (III) $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$

若向量组 ( III ) 线性相关, 则以下说法正确的是哪个？

(A) (Ⅰ) , (Ⅱ) 均线性相关
(B) (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 中至少有一个线性相关
(C) (Ⅰ) 一定线性相关
(D) (Ⅱ) 一定线性相关

难度评级：

二、解析

若向量组 ( III ) 线性相关，则：

$$
|AB| = 0 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0 \text{ 或 } |B| = 0
$$

即向量组(Ⅰ) 或向量组 (Ⅱ) 中至少有一个线性相关，B 选项正确。

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