向量组：少的相关多的一定相关，多的无关少的一定无关

一、题目

已知，向量组（Ⅰ）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$; 向量组（II）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$, 则正确命題是哪个？

(A) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 无关

(B) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 相关

(C) ( II ) 相关 $\Rightarrow$ ( I ) 相关

(D) ( II ) 无关 $\Rightarrow$ ( I ) 无关

难度评级：

二、解析

做本题的时候一定要注意和《向量：短无关则长无关，长相关则短相关》这一题的区别：本题说的是向量组，而不是向量。

分析：

对于向量组而言，如果向量数少的相关，那么无论增加什么样的向量进来，整个向量组都是相关的；但是，如果向量数少的相关，那么，增加向量组之后可能导致新的向量组相关，也可能导致新的向量组无关。

同理，如果向量数多的向量组相关，减少一些向量之后，可能会因为可比较的向量变少而使得整个向量组变得无关，当然，也可能仍然是相关的；但是，如果向量数多的向量组无关，减少一些向量之后，由于可比较的向量变少，新的向量组更具有“无关的趋势”，因此，新的向量组一定无关。

总结（对向量组而言）：

增加向量组会产生相关趋势；
减少向量组会产生无关趋势。

总结（对向量而言）：

增加向量会产生无关趋势；
减少向量会产生相关趋势。

综上可知，D 选项正确。

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