你知道哪些矩阵运算满足交换律吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 An 阶矩阵, ATA 的转置矩阵, AA 的伴随矩阵, En 阶单位矩阵, Λ1, Λ2 都是 n 阶对角矩阵, 在下列运算中, 交换律一定成立的是哪个或者哪些?

(1) AA=AA

(2) Λ1Λ2=Λ2Λ1

(3) AmAt=AtAm

(4) AA=AA

(5) AΛ1=Λ1A

(6) (A+E)(AE)=(AE)(A+E)

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

(1)

AA=AA=|A|E

(2)

Λ1Λ2=Λ2Λ1

[a1000a2000a3][b1000b2000b3]=

[a1b1000a2b2000a3b3]=

[b1000b2000b3][a1000a2000a3]

(3)

AmAt=Am+tAtAm=At+m

(4)

AAAA

(1,2,3)(123)=14

(123)(1,2,3)=[123246369]

(5)

AΛ1Λ1A

[a00b][1234]=[a2a3b4b]

[1234][a00b]=[a2b3a4b]

(6)

(A+E)(AE)=A2A+AE=A2E

(AE)(A+E)=A2+AAZ=A2E

于是:

(A+E)(AE)=(AE)(A+E)

综上可知,一定满足交换律的有:

(1) AA=AA

(2) Λ1Λ2=Λ2Λ1

(3) AmAt=AtAm

(6) (A+E)(AE)=(AE)(A+E)

可能不满足交换律的有:

(4) AA=AA

(5) AΛ1=Λ1A


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