抽象矩阵空白的地方默认都是元素 “0”

一、题目

已知 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1 \\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\boldsymbol{ AJ } = ?$

难度评级：

二、解析

我们可以先用 $3$ 阶行列式做一个计算测试：

$$
\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{21} & a_{22} \\ 0 & a_{31} & a_{32}\end{array}\right]
$$

于是推出：

$$
\boldsymbol{A J} = \left[\begin{array}{cccc}0 & a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} \\ 0 & a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1}\end{array}\right]
$$

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