二阶导正负发生改变的点一定是拐点

一、题目

已知，曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$, 则下列说法正确的是：

(A) 曲线的凸区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凹区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 无拐点.
(B) 曲线的凹区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凸区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 无拐点.
(C) 曲线的凸区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凹区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 拐点为 $(4,0)$.
(D) 曲线的凹区间为 $(-\mathrm{\infty },4)$, 凸区间为 $(4,+\mathrm{\infty })$, 拐点为 $(4,0)$.

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二、解析

由题知：

$$y=(x–4{)}^{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{3}(x–4{)}^{\frac{-2}{3}}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{-2}{9}(x–4{)}^{\frac{-5}{3}}$$

于是：

① 当 $x<4$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

② 当 $x>4$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

③ 当 $x=4$ 时，$y^{\prime \prime }=0$

综上，D 选项正确。

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