七、证明题 (本题满分 9 分)
设 $x>0$, 常数 $a>\mathrm{e}$. 证明: $(a+x)^{a}<a^{a+x}$.
由于 $y=\ln x$ 单调增，因此：
$$
(a+x)^{a}<a^{a+x} \Leftrightarrow a \ln (a+x)<(a+x) \ln a
$$
令：
$$
f(x)=(a+x) \ln a-a \ln (a+x)
$$
则只需证明 $f(x)>0$.
又：
$$
f^{\prime}(x)=\ln a-\frac{a}{a+x} \Rightarrow
$$
$$
a>e \Rightarrow \ln a>\ln e \Rightarrow \ln a>1
$$
$$
\frac{a}{a+x}<1 \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
$$
$$
f(0)=0 \Rightarrow f(x)>0 \Rightarrow
$$
$$
a \ln (a+x)<(a+x) \ln a \Rightarrow
$$
$$
(a+x)^{a}<a^{a+x}
$$