1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

七、证明题 (本题满分 9 分)

设 $x>0$, 常数 $a>\mathrm{e}$. 证明: $(a+x{)}^a<a^{a+x}$.

由于 $y=\ln x$ 单调增，因此：

$$(a+x{)}^a<a^{a+x}\iff a\ln (a+x)<(a+x)\ln a$$

令：

$$f(x)=(a+x)\ln a-a\ln (a+x)$$

则只需证明 $f(x)>0$.

又：

$$f^{\prime }(x)=\ln a-\frac{a}{a+x}\Rightarrow$$

$$a>e\Rightarrow \ln a>\ln e\Rightarrow \ln a>1$$

$$\frac{a}{a+x}<1\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$$

$$f(0)=0\Rightarrow f(x)>0\Rightarrow$$

$$a\ln (a+x)<(a+x)\ln a\Rightarrow$$

$$(a+x{)}^a<a^{a+x}$$