1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

六、解答题 (本题满分 9 分)

作半径为 r 的球的外切正圆锥, 问此圆锥的高 h 为何值时, 其体积最小, 并求出该最小值.

示意图:

1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 | 荒原之梦 | 图 03
图 03.

设圆镌祗面半径为R, 则

BC=OD=r

 又设 AC=h

BCAC=ODADRh=r(hr)2r2

R=rh(hr)2r213πR2h

于是:

V=13πr2h2h2r

V(h)=13πr2(h2h2r)h

V(h)=13πr2h24hr(h2r)2

V(h)=0

h4r=0h=4r

由于一定存在最小值,因此,当 h=4r 时取得的唯一极值一定是最小值:

V(4r)=8πr33


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