1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

五、解答题 (本题满分 9 分)

设平面图形 $A$ 由 $x^2+y^2⩽2x$ 与 $y⩾x$ 所确定,求图形 $A$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积.

注意：对于旋转体的体积，不能只会用公式计算，还要会用微分的思路计算。

方法一: 视作薄片的体积

示意图：

在 $Y$ 轴上进行微分，就找 $x(y)$ 的表达式：

$$x^2+y^2=2x\Rightarrow (x-1{)}^2+y^2=1\Rightarrow$$

$$(x-1{)}^2=1-y^2\Rightarrow x<1\Rightarrow -(x-1)=\sqrt{1-y^2}\Rightarrow$$

$$x_1=1-\sqrt{1-y^2},$$

$$y=x\Rightarrow x_2=y$$

于是，圆柱体的体积可以表示为：

$$\mathrm{d}V=\pi {(2-x_1)}^2\mathrm{d}y-\pi {(2-x_2)}^2\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}V=\pi [{(1+\sqrt{1-y^2})}^2-(2-y{)}^2]\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}V=2\pi [\sqrt{1-y^2}-(y-1{)}^2]\mathrm{d}y\Rightarrow$$

$$V=2\pi {\int }_0^1[\sqrt{1-y^2}-(y-1{)}^2]\mathrm{d}y\Rightarrow$$

又：

$$x=\sqrt{1-y^2}\Rightarrow x^2=1-y^2\Rightarrow x^2+y^2=1\Rightarrow$$

$${\int }_0^1\sqrt{1-y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi$$

且：

$${\int }_0^1(y-1{)}^2\mathrm{d}y={\frac{1}{3}(y-1{)}^3|}_0^1=\frac{1}{3}(0+1)=\frac{1}{3}$$

于是：

$$V=2\pi (\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3})=\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2\pi }{3}.$$

方法二: 看作薄圆筒

示意图：

$$x^2+y^2=2x\Rightarrow y_1=\sqrt{2x-x^2},y_2=x\Rightarrow$$

于是，将薄圆筒展开之后就是：

$$\text{ 宽: }\mathrm{d}x$$

$$\text{ 长: }2\pi r=2\pi (2-x)$$

$$\text{ 高: }{y}_1-y_2=\sqrt{2x-x^2}-x$$

于是：

$$\mathrm{d}V=2\pi (2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=2\pi {\int }_0^1[(2-x)(\sqrt{2x-x^2}-x)]\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=2\pi \left[{\int }_0^1(2\sqrt{2x-x^2}-x\sqrt{2x-x^2}-(2x-x^2))\mathrm{d}x\right]=$$

$$V=2\pi [{\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x+{\int }_0^1(1-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x-$$

$${\int }_0^1(2x-x^2)\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

又：

$${\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{\pi }{4}$$

$${\int }_0^1(1-x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^1(2-2x)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=$$

$${\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{(2x-x^2)}^{\frac{3}{2}}|}_0^1=\frac{1}{3}$$

$${\int }_0^1(2x-x^2)\mathrm{d}x={(x^2-\frac{1}{3}{x}^3)|}_0^1=\frac{2}{3}$$

于是：

$$V=(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}x)\cdot 2\pi =\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2\pi }{3}$$