四、解答题 (本题满分 9 分)
设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma \mathrm{e}^{x}$ 的一个特解为 $y=\mathrm{e}^{2 x}+(1+x) \mathrm{e}^{x}$. 试确定常数 $\alpha, \beta, \gamma$, 并求该方程的通解.
方法一：
$$
y=e^{2 x}+e^{x}+x e^{x} \Rightarrow
$$
齐通: $y ^{*} = C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}$
非齐特: $Y^{*} = x e^{x}$
$$
\lambda_{1}=1, \ \lambda_{2}=2 \Rightarrow r^{2}+\alpha \lambda+\beta=0 \Rightarrow
$$
$$
\alpha=-3, \ \beta=2
$$
$$
Y^{*}=x e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=e^{x}+x e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=2 e^{x}+x e^{x}
$$
$$
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y= \gamma e^{x} \Rightarrow
$$
$$
2+x-3-3 x+2 x=-1 \Rightarrow \gamma=-1
$$
非齐通：
$$
Y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}+x e^{x}
$$
解法二：
$$
y=e^{2 x}+(1+x) e^{x}
$$
$$
y^{\prime}=2 e^{2 x}+e^{x}+(1+x) e^{x}
$$
$$
y^{\prime \prime}=4 e^{2 x}+e^{x}+e^{x}+(1+x) e^{x} \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\beta y=y e^{x} \Rightarrow
$$
$$
4 e^{2 x}+2 e^{x}+(1+x) e^{x}+22 e^{2 x}+2 e^{x}+
$$
$$
2(1+x) e^{x}+\beta e^{2 x}+\beta(1+x) e^{x}=\gamma e^{x} \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
4+2 \alpha+\beta=0 \\
x+\alpha x+\beta x=0 \\
2 + 2 \alpha + \beta = \gamma
\end{array}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
\alpha=-3 \\ \beta=2 \\ \gamma=-1
\end{array}\right.
$$
非齐通：
$$
y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}+x e^{x}
$$