1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 - 第4页共8页

四、解答题 (本题满分 9 分)

设二阶常系数线性微分方程 $y^{''} + α y^{'} + β y = γ e^{x}$ 的一个特解为 $y = e^{2 x} + (1 + x) e^{x}$ . 试确定常数 $α, β, γ$ , 并求该方程的通解.

方法一：

$y = e^{2 x} + e^{x} + x e^{x} \Rightarrow$

齐通: $y^{*} = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x}$

非齐特: $Y^{*} = x e^{x}$

$λ_{1} = 1, λ_{2} = 2 \Rightarrow r^{2} + α λ + β = 0 \Rightarrow$

$α = - 3, β = 2$

$Y^{*} = x e^{x}$

${(Y^{*})}^{'} = e^{x} + x e^{x}$

${(Y^{*})}^{''} = 2 e^{x} + x e^{x}$

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = γ e^{x} \Rightarrow$

$2 + x - 3 - 3 x + 2 x = - 1 \Rightarrow γ = - 1$

非齐通：

$Y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x} + x e^{x}$

解法二：

$y = e^{2 x} + (1 + x) e^{x}$

$y^{'} = 2 e^{2 x} + e^{x} + (1 + x) e^{x}$

$y^{''} = 4 e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + (1 + x) e^{x} \Rightarrow$

$y^{''} + 2 y^{'} + β y = y e^{x} \Rightarrow$

$4 e^{2 x} + 2 e^{x} + (1 + x) e^{x} + 22 e^{2 x} + 2 e^{x} +$

$2 (1 + x) e^{x} + β e^{2 x} + β (1 + x) e^{x} = γ e^{x} \Rightarrow$

${\begin{cases} 4 + 2 α + β = 0 \\ x + α x + β x = 0 \\ 2 + 2 α + β = γ \end{cases} \Rightarrow$

${\begin{cases} α = - 3 \\ β = 2 \\ γ = - 1 \end{cases}$

非齐通：

$y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x} + x e^{x}$

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