前言
在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二【1993】年的真题。
注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干；
3. 典型题目用红色标注。
一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=$
$$
x \ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \Rightarrow \text { 洛必达运算 } \Rightarrow
$$
$$
\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^{2}}}=-x=0
$$
(2) 函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+\mathrm{e}^{x}-x y^{2}=0$ 所确定,则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
$$
\cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot\left(2 x+2 y \cdot y^{\prime}\right)+e^{x}-y^{2}-x \cdot 2 y \cdot y^{\prime}=0 \Rightarrow
$$
$$
2 x \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)+2 y \cdot \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)+e^{x}-y^{2}-
$$
$$
2 x y \cdot \frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{y^{2}-e^{x}-2 x \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{2 y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y}
$$
(3) 设 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t(x>0)$, 则函数 $F(x)$ 的单调减少区间是.
$$
F^{\prime}(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow F^{\prime}(x)<0 \Rightarrow x<\frac{1}{4} \Rightarrow
$$
$$
0<x<\frac{1}{4}
$$
(4) $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~d} x=$
$$
\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}} \mathrm{~ d} x=\int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos ^{\frac{1}{2}} x} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int \frac{\sin x}{\cos ^{\frac{3}{2}} x} \mathrm{~ d} x=-\int \frac{1}{\cos ^{\frac{3}{2} x}} \mathrm{~ d} (\cos x) \Rightarrow
$$
$$
-\int t^{\frac{-3}{2}} \mathrm{~ d} t=-\left(-2 \cdot t^{\frac{-1}{2}}\right)+C=
$$
$$
2 t^{\frac{-1}{2}}+C=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C
$$
注意：
$$
2 t^{\frac{-1}{2}}+C \neq \frac{1}{2 \sqrt{\cos x}}+C
$$
$$
$$
(5) 已知曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 且其上任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $x \ln \left(1+x^{2}\right)$, 则 $f(x)=$
$$
f^{\prime}(x)=x \ln \left(1+x^{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
f(x)=\int x \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{~ d} x=\frac{1}{2} \int \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)=
$$
$$
\frac{1}{2}\left[x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\int x^{2} \cdot \frac{2 x}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x\right]=
$$
$$
\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\int \frac{x\left(1+x^{2}\right)-x}{1+x^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\int\left(x-\frac{x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)+C=f(x)
$$
$$
f(0)=-\frac{1}{2} \Rightarrow C=-\frac{1}{2} \Rightarrow
$$
$$
f(x)=\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{2}
$$