1993 年考研数二真题解析：一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二【1993】年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干；
3. 典型题目用红色标注。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x=$

$$x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\Rightarrow \text{ 洛必达运算 }\Rightarrow$$

$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}=-x=0$$

(2) 函数 $y=y(x)$ 由方程 $\sin (x^2+y^2)+{\mathrm{e}}^x-x{y}^2=0$ 所确定,则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$

$$\cos (x^2+y^2)\cdot (2x+2y\cdot y^{\prime })+e^x-y^2-x\cdot 2y\cdot y^{\prime }=0\Rightarrow$$

$$2x\cos (x^2+y^2)+2y\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cos (x^2+y^2)+e^x-y^2-$$

$$2xy\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2-e^x-2x\cos (x^2+y^2)}{2y\cos (x^2+y^2)-2xy}$$

(3) 设 $F(x)={\int }_1^x(2-\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t(x>0)$, 则函数 $F(x)$ 的单调减少区间是.

$$F^{\prime }(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow F^{\prime }(x)<0\Rightarrow x<\frac{1}{4}\Rightarrow$$

$$0<x<\frac{1}{4}$$

(4) $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x=$

$$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x=\int \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{\frac{1}{2}}x}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{\frac{3}{2}}x}\mathrm{d}x=-\int \frac{1}{{\cos }^{\frac{3}{2}x}}\mathrm{d}(\cos x)\Rightarrow$$

$$-\int t^{\frac{-3}{2}}\mathrm{d}t=-(-2\cdot t^{\frac{-1}{2}})+C=$$

$$2t^{\frac{-1}{2}}+C=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$$

注意：

$$2t^{\frac{-1}{2}}+C\ne \frac{1}{2\sqrt{\cos x}}+C$$

$$$$

(5) 已知曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,-\frac{1}{2})$, 且其上任一点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $x\ln (1+x^2)$, 则 $f(x)=$

$$f^{\prime }(x)=x\ln (1+x^2)\Rightarrow$$

$$f(x)=\int x\ln (1+x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \ln (1+x^2)\mathrm{d}\left(x^2\right)=$$

$$\frac{1}{2}[x^2\ln (1+x^2)-\int x^2\cdot \frac{2x}{1+x^2}\mathrm{d}x]=$$

$$\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\int \frac{x(1+x^2)-x}{1+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\int (x-\frac{x}{1+x^2})\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C=f(x)$$

$$f(0)=-\frac{1}{2}\Rightarrow C=-\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}$$