1990 年考研数二真题解析

四、解答题 (本题满分 9 分)

在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的第一象限部分上求一点 $P$, 使该点处的切线, 椭圆及两坐标轴所围图形 的面积为最小 (其中 $a>0,b>0$ ).

由题可以绘制出如图 01 所示的示意图：

由《椭圆的性质》可知，若切点为 $P(x_0,y_0)$, 则椭圆上的切线方程为：

$$\frac{x\cdot x_0}{a^2}+\frac{y\cdot y_0}{b^2}=1\Rightarrow$$

当 $x=0$ 时，$Y$ 轴上的截距为：

$$y=\frac{b^2}{y_0}$$

当 $y=0$ 时，$X$ 轴上的截距为：

$$x=\frac{a^2}{x_0}$$

于是：

$$S=\frac{b}{y_0^2}\cdot \frac{a^2}{x_0}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\pi ab\Rightarrow$$

$$S=\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}-\frac{\pi ab}{4}\Rightarrow$$

$\frac{\pi ab}{4}$ 为定值, 若 $\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}$ 越小, 则 $S$ 越小. 为此，$x_0{y}_0$ 必须尽可能大，又：

$$x_0{y}_0=ab\cdot \frac{x_0{y}_0}{ab}=$$

$$ab\cdot (\frac{x_0}{a}\cdot \frac{y_0}{b})⩽ab\cdot \frac{1}{2}(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2})=\frac{ab}{2}$$

$a^2+b^2⩾2ab$ $\Rightarrow$ $ab⩽\frac{a^2+b^2}{2}$

于是：

$$\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{a}=\frac{y_0}{b}\\ \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{1}{2}\\ \frac{y_0^2}{b^2}=\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow .$$

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{a}{\sqrt{2}}\\ y_0=\frac{b}{\sqrt{2}}\end{array}$$