四、解答题 (本题满分 9 分)
在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的第一象限部分上求一点 $P$, 使该点处的切线, 椭圆及两坐标轴所围图形 的面积为最小 (其中 $a>0, b>0$ ).
由题可以绘制出如图 01 所示的示意图：
由《椭圆的性质》可知，若切点为 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则椭圆上的切线方程为：
$$
\frac{x \cdot x_{0}}{a^{2}}+\frac{y \cdot y_{0}}{b^{2}}=1 \Rightarrow
$$
当 $x=0$ 时，$Y$ 轴上的截距为：
$$
y=\frac{b^{2}}{y_{0}}
$$
当 $y=0$ 时，$X$ 轴上的截距为：
$$
x=\frac{a^{2}}{x_{0}}
$$
于是：
$$
S=\frac{b}{y_{0}^{2}} \cdot \frac{a^{2}}{x_{0}} \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \pi a b \Rightarrow
$$
$$
S=\frac{a^{2} b^{2}}{2 x_{0} y_{0}}-\frac{\pi a b}{4} \Rightarrow
$$
$\frac{\pi a b}{4}$ 为定值, 若 $\frac{a^{2} b^{2}}{2 x_{0} y_{0}}$ 越小, 则 $S$ 越小. 为此，$x_{0} y_{0}$ 必须尽可能大，又：
$$
x_{0} y_{0}=a b \cdot \frac{x_{0} y_{0}}{a b}=
$$
$$
a b \cdot\left(\frac{x_{0}}{a} \cdot \frac{y_{0}}{b}\right) \leqslant a b \cdot \frac{1}{2} \left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\right)=\frac{a b}{2}
$$
$a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$ $\Rightarrow$ $a b \leqslant \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$
于是：
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \frac { x _ { 0 } } { a } = \frac { y _ { 0 } } { b } } \\ { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2} \\ \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{2}
\end{array} \Rightarrow .\right.\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{0}=\frac{a}{\sqrt{2}} \\ y_{0}=\frac{b}{\sqrt{2}}
\end{array}\right.
$$