1989 年考研数二真题解析

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1989 年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。

一、填空题 (本题满分 21 分, 每小题 3 分)

(1) $\underset{x\to 0}{lim}x\cot 2x=$

$$\underset{x\to 0}{lim}x\cos 2x=\underset{x\to 0}{lim}x\cdot \frac{1}{\tan 2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$$

(2) ${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=$

$${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=t\cdot 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin t\mathrm{d}t={t\cdot 2\cdot (-\cos t)|}_0^{\frac{\pi }{2}}$$

$$-{2t\cos t|}_0^{\frac{\pi }{2}}=-(0-\pi )=\pi$$

或者：

$${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=-{\int }_0^{\pi }t\mathrm{d}(\cos t)=$$

$$-[{t\cos t|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\cos t\mathrm{d}t]=$$

$$-[-\pi -{\sin t|}_0^{\pi }]=\pi$$

(3) 曲线 $y={\int }_0^x(t-1)(t-2)\mathrm{d}t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是

$$y^{\prime }=(x-1)(x-2)\Rightarrow x=0\Rightarrow k=y^{\prime }=2\Rightarrow$$

$$y-0=2(x-0)=y=2x$$

(4) 设 $f(x)=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$, 则 $f^{\prime }(0)=$

$$g(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+n)\Rightarrow$$

$$f(x)=xg(x)\Rightarrow f^{\prime }(x)=g(x)+x{g}^{\prime }(x)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(0)=g(0)\Rightarrow g(0)=1\cdot 2\cdot 3\cdots n\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(0)=n!$$

(5) 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t$, 则 $f(x)=$

$$f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow A={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$f(x)=x+2A\Rightarrow {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x+2A{\int }_0^1\mathrm{d}x$$

$$A={\frac{1}{2}{x}^2|}_0^1+2A\Rightarrow -A=\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{-1}{2}\Rightarrow$$

$$f(x)=x+2\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)\Rightarrow f(x)=x-1$$

(6) 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a+b{x}^2,& x⩽0,\\ \frac{\sin bx}{x},& x>0\end{array}$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是

$$\underset{x\to 0}{lim}(a+b{x}^2)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin bx}{x}\Rightarrow$$

$$a=\frac{bx}{x}\Rightarrow a=b$$

(7) 设 $\tan y=x+y$, 则 $\mathrm{d}y=$

$$y(x)\Rightarrow$$

$$\tan y=x+y\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^{2}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{{\cos }^{2}y}-1)=1\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{1-{\cos }^{2}y}{{\cos }^{2}y}=1\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{{\cos }^{2}y}{{\sin }^{2}y}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{{\cos }^{2}y}{{\sin }^{2}y}\mathrm{d}x={\cos }^{2}t\mathrm{d}x$$