1989 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 10 分)

设抛物线 $y=a x^{2}+b x+C$ 过原点, 当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $y \geqslant 0$, 又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$. 试确定 $a, b, c$ 的值, 使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小.

首先：

$$
x=0, y=0 \Rightarrow y=a x^{2}+b x+c \Rightarrow c=0 \Rightarrow
$$

接着，求面积：

$$
S=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
\left.\left(\frac{1}{3} a x^{3}+\frac{1}{2} b x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} a+\frac{1}{2} b=\frac{1}{3}
$$

求体积：

$$
V=\pi \int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right)^{2} \mathrm{~d} x=
$$

$$
\pi \int_{0}^{1}\left(a^{2} x^{4}+b^{2} x^{2}+2 a b x^{3}\right) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
V=\left.\pi\left(\frac{1}{5} a^{2} x^{5}+\frac{1}{3} b^{2} x^{3}+\frac{1}{4} \cdot 2 a b x^{4}\right)\right|_{0} ^{1} \Rightarrow
$$

$$
V=\pi\left(\frac{a^{2}}{5}+\frac{b^{2}}{3}+\frac{a b}{2}\right) \Rightarrow
$$

又：

$$
b=\frac{2}{3}(1-a)
$$

因此：

$$
V=\pi\left[\frac{a^{2}}{5}+\frac{\frac{4}{9}(1-a)^{2}}{3}+\frac{\frac{2}{3} a(1-a)}{2}\right]
$$

$$
V=\pi\left[\frac{a^{2}}{5}+\frac{4}{27}(1-a)^{2}+\frac{1}{3} a(1-a)\right] \Rightarrow
$$

$$
V_{a}^{\prime}=\pi\left[\frac{2}{5} a+\frac{4}{27} \cdot 2(1-a) \cdot(-1)+\frac{1}{3}(1-2 a)\right] \Rightarrow
$$

$$
V_{a}^{\prime}=\pi\left(\frac{2}{5} a-\frac{8}{27}+\frac{8 a}{27}+\frac{1}{3}-\frac{2 a}{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
V_{a}^{\prime}=\pi\left(\frac{4}{135} a+\frac{1}{27}\right) \Rightarrow V_{a}^{\prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{-1}{27} \cdot \frac{135}{4}=\frac{-5}{4} \Rightarrow b=\frac{3}{2}
$$

又：

$$
V_{a}^{\prime \prime}=\frac{4 \pi}{135}>0
$$

因此，当 $\begin{cases}
& a = \frac{-5}{4} \\
& b = \frac{3}{2} \\
& c = 0
\end{cases}$ 时，体积最小。

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