九、选择题 (本题满分 16 分, 每小题 4 分)
(1) $f(x)=|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}(-\infty<x<+\infty)$ 是
(A) 有界函数.
(B) 单调函数.
(C) 周期函数.
(D) 偶函数.
根据函数性质可知，该函数为无界、不单调、没有周期性的函数，因此只能选 D.
(2) 函数 $f(x)=x \sin x$
(A) 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大.
(B) 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界.
(C) 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界.
(D) 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限.
根据函数性质可知，该函数为无界函数，且属于波动无极限，因此选 C.
(3) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
(A) $f^{\prime}(a)$.
(B) $2 f^{\prime}(a)$.
(C) $0$.
(D) $f^{\prime}(2 a)$.
正确选项为 B, 解析如下：
$$
x \rightarrow 0 \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(a)=\frac{f(a+x)-f(a)}{x}
$$
$$
f^{\prime}(a)=\frac{f(a)-f(a-x)}{x}
$$
则：
$$
2 f^{\prime}(a)=\frac{f(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x)}{x} \Rightarrow
$$
$$
2 f^{\prime}(a)=\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}
$$
(4) 设 $I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$, 其中 $f(x)$ 连续, $s>0, t>0$, 则 $I$ 的值
(A) 依赖于 $s, t$.
(B) 依赖于 $s, t, x$.
(C) 依赖于 $t, x$, 不依赖于 $s$.
(D) 依赖于 $s$, 不依赖于 $t$.
本题正确选项为 D.
方法一：特例法
$$
f(t x)=t x \Rightarrow I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} t x \mathrm{~ d} x=t^{2} \int_{0}^{\frac{s}{t}} x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\left.\frac{1}{2} t^{2} x^{2}\right|_{0} ^{\frac{s}{t}}=\frac{1}{2} t^{2} \cdot\left(\frac{s^{2}}{t^{2}}\right)=\frac{1}{2} s^{2}
$$
因此，结果只与 $s$ 有关。
方法二：代换法
$$
u=t x, d u=t \mathrm{~ d} x \Rightarrow x \in\left(0, \frac{s}{t}\right) \Rightarrow
$$
$$
u \in(0, s) \Rightarrow
$$
$$
I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{~ d} x=t \cdot \int_{0}^{s} f(u) \cdot \frac{1}{t} d u \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{s} f(u) d u
$$
因此，结果只与 $s$ 有关（上式中的 $u$ 只是一个积分变量，写成什么样都可以，因此，结果与 $u$ 无关。）