1987 年考研数二真题解析

九、选择题 (本题满分 16 分, 每小题 4 分)

(1) f(x)=|xsinx|ecosx(<x<+)

(A) 有界函数.
(B) 单调函数.
(C) 周期函数.
(D) 偶函数.

根据函数性质可知,该函数为无界、不单调、没有周期性的函数,因此只能选 D.

(2) 函数 f(x)=xsinx

(A) 当 x 时为无穷大.
(B) 在 (,+) 内有界.
(C) 在 (,+) 内无界.
(D) 当 x 时有有限极限.

根据函数性质可知,该函数为无界函数,且属于波动无极限,因此选 C.

(3) 设 f(x)x=a 处可导, 则 limx0f(a+x)f(ax)x 等于

(A) f(a).
(B) 2f(a).
(C) 0.
(D) f(2a).

正确选项为 B, 解析如下:

x0

f(a)=f(a+x)f(a)x

f(a)=f(a)f(ax)x

则:

2f(a)=f(a+x)f(a)+f(a)f(ax)x

2f(a)=f(a+x)f(ax)x

(4) 设 I=t0stf(tx)dx, 其中 f(x) 连续, s>0,t>0, 则 I 的值

(A) 依赖于 s,t.
(B) 依赖于 s,t,x.
(C) 依赖于 t,x, 不依赖于 s.
(D) 依赖于 s, 不依赖于 t.

本题正确选项为 D.

方法一:特例法

f(tx)=txI=t0stf(tx) dx

I=t0sttx dx=t20stx dx=

12t2x2|0st=12t2(s2t2)=12s2

因此,结果只与 s 有关。

方法二:代换法

u=tx,du=t dxx(0,st)

u(0,s)

I=t0stf(tx) dx=t0sf(u)1tdu

I=0sf(u)du

因此,结果只与 s 有关(上式中的 u 只是一个积分变量,写成什么样都可以,因此,结果与 u 无关。)


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